Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101465 / 97296
↖ ↑ ↗
← S 65.385147°
E 98.681946°		 ← 127.19 m → S 65.385147°
E 98.684692°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
S 65.386291°
E 98.681946°		 ← 127.18 m →
16 182 m²		 S 65.386291°
E 98.684692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774120330810547 y=0.742313385009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774120330810547 × 217)
    floor (0.774120330810547 × 131072)
    floor (101465.5)     		tx = 101465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742313385009766 × 217)
    floor (0.742313385009766 × 131072)
    floor (97296.5)     		ty = 97296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101465 / 97296 ti = "17/101465/97296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101465/97296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101465 ÷ 217
    101465 ÷ 131072     		x = 0.774116516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97296 ÷ 217
    97296 ÷ 131072     		y = 0.7423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774116516113281 × 2 - 1) × π
    0.548233032226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.72232487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52247593193298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72232487} λ = 1.72232487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52247593193298))-π/2
    2×atan(0.218171041032322)-π/2
    2×0.214805112944921-π/2
    0.429610225889843-1.57079632675     		φ = -1.14118610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72232487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.681946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14118610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.385147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101465 KachelY 97296 1.72232487 -1.14118610 98.681946 -65.385147
    Oben rechts KachelX + 1 101466 KachelY 97296 1.72237280 -1.14118610 98.684692 -65.385147
    Unten links KachelX 101465 KachelY + 1 97297 1.72232487 -1.14120607 98.681946 -65.386291
    Unten rechts KachelX + 1 101466 KachelY + 1 97297 1.72237280 -1.14120607 98.684692 -65.386291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14118610--1.14120607) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dl = 127.228869999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14118610--1.14120607) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dr = 127.228869999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72232487-1.72237280) × cos(-1.14118610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416516480278439 × 6371000     		do = 127.188317946357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72232487-1.72237280) × cos(-1.14120607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416498324905918 × 6371000     		du = 127.182773984948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14118610)-sin(-1.14120607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416516480278439-0.416498324905918)×R²
    abs(1.72237280-1.72232487)×1.81553725211447e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81553725211447e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81553725211447e-05×40589641000000     		ar = 16181.6732938755m²