Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101463 / 98247
↖ ↑ ↗
← S 66.450789°
E 98.676452°		 ← 122.03 m → S 66.450789°
E 98.679199°		 →
↑
122 m
↓
↑
122 m
↓
S 66.451886°
E 98.676452°		 ← 122.02 m →
14 888 m²		 S 66.451886°
E 98.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774105072021484 y=0.749568939208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774105072021484 × 217)
    floor (0.774105072021484 × 131072)
    floor (101463.5)     		tx = 101463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749568939208984 × 217)
    floor (0.749568939208984 × 131072)
    floor (98247.5)     		ty = 98247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101463 / 98247 ti = "17/101463/98247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101463/98247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101463 ÷ 217
    101463 ÷ 131072     		x = 0.774101257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98247 ÷ 217
    98247 ÷ 131072     		y = 0.749565124511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774101257324219 × 2 - 1) × π
    0.548202514648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.72222899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749565124511719 × 2 - 1) × π
    -0.499130249023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.56806392347166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72222899} λ = 1.72222899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56806392347166))-π/2
    2×atan(0.208448363920658)-π/2
    2×0.205505632278405-π/2
    0.41101126455681-1.57079632675     		φ = -1.15978506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72222899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.676452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15978506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.450789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101463 KachelY 98247 1.72222899 -1.15978506 98.676452 -66.450789
    Oben rechts KachelX + 1 101464 KachelY 98247 1.72227693 -1.15978506 98.679199 -66.450789
    Unten links KachelX 101463 KachelY + 1 98248 1.72222899 -1.15980421 98.676452 -66.451886
    Unten rechts KachelX + 1 101464 KachelY + 1 98248 1.72227693 -1.15980421 98.679199 -66.451886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15978506--1.15980421) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dl = 122.004649999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15978506--1.15980421) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dr = 122.004649999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72222899-1.72227693) × cos(-1.15978506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399536577840371 × 6371000     		do = 122.028754943883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72222899-1.72227693) × cos(-1.15980421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399519022631707 × 6371000     		du = 122.023393131286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15978506)-sin(-1.15980421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399536577840371-0.399519022631707)×R²
    abs(1.72227693-1.72222899)×1.75552086640329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75552086640329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75552086640329e-05×40589641000000     		ar = 14887.7484540817m²