Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101463 / 97272
↖ ↑ ↗
← S 65.357677°
E 98.676452°		 ← 127.35 m → S 65.357677°
E 98.679199°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
S 65.358822°
E 98.676452°		 ← 127.34 m →
16 218 m²		 S 65.358822°
E 98.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774105072021484 y=0.742130279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774105072021484 × 217)
    floor (0.774105072021484 × 131072)
    floor (101463.5)     		tx = 101463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742130279541016 × 217)
    floor (0.742130279541016 × 131072)
    floor (97272.5)     		ty = 97272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101463 / 97272 ti = "17/101463/97272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101463/97272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101463 ÷ 217
    101463 ÷ 131072     		x = 0.774101257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97272 ÷ 217
    97272 ÷ 131072     		y = 0.74212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774101257324219 × 2 - 1) × π
    0.548202514648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.72222899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.4842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5213254463421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72222899} λ = 1.72222899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5213254463421))-π/2
    2×atan(0.218422188114224)-π/2
    2×0.21504483638591-π/2
    0.43008967277182-1.57079632675     		φ = -1.14070665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72222899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.676452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14070665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.357677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101463 KachelY 97272 1.72222899 -1.14070665 98.676452 -65.357677
    Oben rechts KachelX + 1 101464 KachelY 97272 1.72227693 -1.14070665 98.679199 -65.357677
    Unten links KachelX 101463 KachelY + 1 97273 1.72222899 -1.14072664 98.676452 -65.358822
    Unten rechts KachelX + 1 101464 KachelY + 1 97273 1.72227693 -1.14072664 98.679199 -65.358822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14070665--1.14072664) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14070665--1.14072664) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72222899-1.72227693) × cos(-1.14070665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416952313887981 × 6371000     		do = 127.347969013865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72222899-1.72227693) × cos(-1.14072664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416934144326711 × 6371000     		du = 127.342419562169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14070665)-sin(-1.14072664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416952313887981-0.416934144326711)×R²
    abs(1.72227693-1.72222899)×1.81695612698762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81695612698762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81695612698762e-05×40589641000000     		ar = 16218.2114944398m²