Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101461 / 97712
↖ ↑ ↗
← S 65.856757°
E 98.670960°		 ← 124.93 m → S 65.856757°
E 98.673706°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
S 65.857880°
E 98.670960°		 ← 124.92 m →
15 599 m²		 S 65.857880°
E 98.673706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774089813232422 y=0.745487213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774089813232422 × 217)
    floor (0.774089813232422 × 131072)
    floor (101461.5)     		tx = 101461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745487213134766 × 217)
    floor (0.745487213134766 × 131072)
    floor (97712.5)     		ty = 97712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101461 / 97712 ti = "17/101461/97712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101461/97712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101461 ÷ 217
    101461 ÷ 131072     		x = 0.774085998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97712 ÷ 217
    97712 ÷ 131072     		y = 0.7454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774085998535156 × 2 - 1) × π
    0.548171997070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72213312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.490966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54241768217493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72213312} λ = 1.72213312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54241768217493))-π/2
    2×atan(0.213863422103614)-π/2
    2×0.210689545784322-π/2
    0.421379091568644-1.57079632675     		φ = -1.14941724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72213312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.670960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14941724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.856757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101461 KachelY 97712 1.72213312 -1.14941724 98.670960 -65.856757
    Oben rechts KachelX + 1 101462 KachelY 97712 1.72218106 -1.14941724 98.673706 -65.856757
    Unten links KachelX 101461 KachelY + 1 97713 1.72213312 -1.14943684 98.670960 -65.857880
    Unten rechts KachelX + 1 101462 KachelY + 1 97713 1.72218106 -1.14943684 98.673706 -65.857880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14941724--1.14943684) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14941724--1.14943684) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72213312-1.72218106) × cos(-1.14941724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409019293804828 × 6371000     		do = 124.925020484535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72213312-1.72218106) × cos(-1.14943684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409001408221856 × 6371000     		du = 124.91955776712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14941724)-sin(-1.14943684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409019293804828-0.409001408221856)×R²
    abs(1.72218106-1.72213312)×1.78855829719438e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78855829719438e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78855829719438e-05×40589641000000     		ar = 15599.2461192275m²