Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101461 / 97291
↖ ↑ ↗
← S 65.379427°
E 98.670960°		 ← 127.24 m → S 65.379427°
E 98.673706°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
S 65.380571°
E 98.670960°		 ← 127.24 m →
16 189 m²		 S 65.380571°
E 98.673706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774089813232422 y=0.742275238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774089813232422 × 217)
    floor (0.774089813232422 × 131072)
    floor (101461.5)     		tx = 101461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742275238037109 × 217)
    floor (0.742275238037109 × 131072)
    floor (97291.5)     		ty = 97291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101461 / 97291 ti = "17/101461/97291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101461/97291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101461 ÷ 217
    101461 ÷ 131072     		x = 0.774085998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97291 ÷ 217
    97291 ÷ 131072     		y = 0.742271423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774085998535156 × 2 - 1) × π
    0.548171997070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72213312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742271423339844 × 2 - 1) × π
    -0.484542846679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.52223624743488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72213312} λ = 1.72213312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52223624743488))-π/2
    2×atan(0.218223339516109)-π/2
    2×0.214855034655374-π/2
    0.429710069310748-1.57079632675     		φ = -1.14108626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72213312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.670960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14108626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.379427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101461 KachelY 97291 1.72213312 -1.14108626 98.670960 -65.379427
    Oben rechts KachelX + 1 101462 KachelY 97291 1.72218106 -1.14108626 98.673706 -65.379427
    Unten links KachelX 101461 KachelY + 1 97292 1.72213312 -1.14110623 98.670960 -65.380571
    Unten rechts KachelX + 1 101462 KachelY + 1 97292 1.72218106 -1.14110623 98.673706 -65.380571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14108626--1.14110623) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dl = 127.228870000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14108626--1.14110623) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dr = 127.228870000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72213312-1.72218106) × cos(-1.14108626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416607245558427 × 6371000     		do = 127.242576263961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72213312-1.72218106) × cos(-1.14110623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416589091016431 × 6371000     		du = 127.237031399537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14108626)-sin(-1.14110623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416607245558427-0.416589091016431)×R²
    abs(1.72218106-1.72213312)×1.81545419963847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81545419963847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81545419963847e-05×40589641000000     		ar = 16188.576461146m²