Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101460 / 97715
↖ ↑ ↗
← S 65.860126°
E 98.668213°		 ← 124.91 m → S 65.860126°
E 98.670960°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
S 65.861250°
E 98.668213°		 ← 124.90 m →
15 605 m²		 S 65.861250°
E 98.670960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774082183837891 y=0.745510101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774082183837891 × 217)
    floor (0.774082183837891 × 131072)
    floor (101460.5)     		tx = 101460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745510101318359 × 217)
    floor (0.745510101318359 × 131072)
    floor (97715.5)     		ty = 97715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101460 / 97715 ti = "17/101460/97715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101460/97715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101460 ÷ 217
    101460 ÷ 131072     		x = 0.774078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97715 ÷ 217
    97715 ÷ 131072     		y = 0.745506286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774078369140625 × 2 - 1) × π
    0.54815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72208518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745506286621094 × 2 - 1) × π
    -0.491012573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.54256149287379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72208518} λ = 1.72208518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54256149287379))-π/2
    2×atan(0.213832668466825)-π/2
    2×0.210660137038492-π/2
    0.421320274076985-1.57079632675     		φ = -1.14947605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72208518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14947605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.860126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101460 KachelY 97715 1.72208518 -1.14947605 98.668213 -65.860126
    Oben rechts KachelX + 1 101461 KachelY 97715 1.72213312 -1.14947605 98.670960 -65.860126
    Unten links KachelX 101460 KachelY + 1 97716 1.72208518 -1.14949566 98.668213 -65.861250
    Unten rechts KachelX + 1 101461 KachelY + 1 97716 1.72213312 -1.14949566 98.670960 -65.861250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14947605--1.14949566) × R
    1.96099999998367e-05 × 6371000     		dl = 124.93530999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14947605--1.14949566) × R
    1.96099999998367e-05 × 6371000     		dr = 124.93530999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72208518-1.72213312) × cos(-1.14947605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408965627459055 × 6371000     		do = 124.908629401164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72208518-1.72213312) × cos(-1.14949566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408947732279079 × 6371000     		du = 124.903163752578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14947605)-sin(-1.14949566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408965627459055-0.408947732279079)×R²
    abs(1.72213312-1.72208518)×1.7895179975469e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7895179975469e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7895179975469e-05×40589641000000     		ar = 15605.1569101073m²