Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10146 / 14350
↖ ↑ ↗
← S 79.228975°
E 42.934570°		 ← 456.61 m → S 79.228975°
E 42.956543°		 →
↑
456.55 m
↓
↑
456.55 m
↓
S 79.233081°
E 42.934570°		 ← 456.44 m →
208 425 m²		 S 79.233081°
E 42.956543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619293212890625 y=0.875885009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619293212890625 × 214)
    floor (0.619293212890625 × 16384)
    floor (10146.5)     		tx = 10146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875885009765625 × 214)
    floor (0.875885009765625 × 16384)
    floor (14350.5)     		ty = 14350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10146 / 14350 ti = "14/10146/14350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10146/14350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10146 ÷ 214
    10146 ÷ 16384     		x = 0.6192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14350 ÷ 214
    14350 ÷ 16384     		y = 0.8758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6192626953125 × 2 - 1) × π
    0.238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.74934961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36156342288245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74934961} λ = 0.74934961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36156342288245))-π/2
    2×atan(0.0942727197939339)-π/2
    2×0.0939949215460365-π/2
    0.187989843092073-1.57079632675     		φ = -1.38280648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74934961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.934570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38280648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.228975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10146 KachelY 14350 0.74934961 -1.38280648 42.934570 -79.228975
    Oben rechts KachelX + 1 10147 KachelY 14350 0.74973311 -1.38280648 42.956543 -79.228975
    Unten links KachelX 10146 KachelY + 1 14351 0.74934961 -1.38287814 42.934570 -79.233081
    Unten rechts KachelX + 1 10147 KachelY + 1 14351 0.74973311 -1.38287814 42.956543 -79.233081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38280648--1.38287814) × R
    7.16600000001399e-05 × 6371000     		dl = 456.545860000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38280648--1.38287814) × R
    7.16600000001399e-05 × 6371000     		dr = 456.545860000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74934961-0.74973311) × cos(-1.38280648) × R
    0.000383499999999981 × 0.186884535782793 × 6371000     		do = 456.610968260558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74934961-0.74973311) × cos(-1.38287814) × R
    0.000383499999999981 × 0.18681413781705 × 6371000     		du = 456.438966424412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38280648)-sin(-1.38287814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186884535782793-0.18681413781705)×R²
    abs(0.74973311-0.74934961)×7.03979657437903e-05×R²
    0.000383499999999981×7.03979657437903e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.03979657437903e-05×40589641000000     		ar = 208424.58391667m²