Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101458 / 97182
↖ ↑ ↗
← S 65.254407°
E 98.662720°		 ← 127.85 m → S 65.254407°
E 98.665467°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
S 65.255557°
E 98.662720°		 ← 127.84 m →
16 339 m²		 S 65.255557°
E 98.665467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774066925048828 y=0.741443634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774066925048828 × 217)
    floor (0.774066925048828 × 131072)
    floor (101458.5)     		tx = 101458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741443634033203 × 217)
    floor (0.741443634033203 × 131072)
    floor (97182.5)     		ty = 97182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101458 / 97182 ti = "17/101458/97182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101458/97182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101458 ÷ 217
    101458 ÷ 131072     		x = 0.774063110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97182 ÷ 217
    97182 ÷ 131072     		y = 0.741439819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774063110351562 × 2 - 1) × π
    0.548126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72198931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741439819335938 × 2 - 1) × π
    -0.482879638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5170111253763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72198931} λ = 1.72198931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5170111253763))-π/2
    2×atan(0.219366567252321)-π/2
    2×0.215946034775041-π/2
    0.431892069550083-1.57079632675     		φ = -1.13890426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72198931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.662720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13890426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.254407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101458 KachelY 97182 1.72198931 -1.13890426 98.662720 -65.254407
    Oben rechts KachelX + 1 101459 KachelY 97182 1.72203725 -1.13890426 98.665467 -65.254407
    Unten links KachelX 101458 KachelY + 1 97183 1.72198931 -1.13892432 98.662720 -65.255557
    Unten rechts KachelX + 1 101459 KachelY + 1 97183 1.72203725 -1.13892432 98.665467 -65.255557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13890426--1.13892432) × R
    2.00600000002105e-05 × 6371000     		dl = 127.802260001341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13890426--1.13892432) × R
    2.00600000002105e-05 × 6371000     		dr = 127.802260001341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72198931-1.72203725) × cos(-1.13890426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418589879134569 × 6371000     		do = 127.848123591102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72198931-1.72203725) × cos(-1.13892432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418571661052311 × 6371000     		du = 127.842559319848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13890426)-sin(-1.13892432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418589879134569-0.418571661052311)×R²
    abs(1.72203725-1.72198931)×1.82180822571598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82180822571598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82180822571598e-05×40589641000000     		ar = 16338.9235691906m²