Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101457 / 97875
↖ ↑ ↗
← S 66.039220°
E 98.659973°		 ← 124.04 m → S 66.039220°
E 98.662720°		 →
↑
124.04 m
↓
↑
124.04 m
↓
S 66.040335°
E 98.659973°		 ← 124.03 m →
15 386 m²		 S 66.040335°
E 98.662720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774059295654297 y=0.746730804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774059295654297 × 217)
    floor (0.774059295654297 × 131072)
    floor (101457.5)     		tx = 101457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746730804443359 × 217)
    floor (0.746730804443359 × 131072)
    floor (97875.5)     		ty = 97875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101457 / 97875 ti = "17/101457/97875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101457/97875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101457 ÷ 217
    101457 ÷ 131072     		x = 0.774055480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97875 ÷ 217
    97875 ÷ 131072     		y = 0.746726989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774055480957031 × 2 - 1) × π
    0.548110961914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.72194137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746726989746094 × 2 - 1) × π
    -0.493453979492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.550231396813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72194137} λ = 1.72194137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.550231396813))-π/2
    2×atan(0.212198866003951)-π/2
    2×0.209097251896938-π/2
    0.418194503793877-1.57079632675     		φ = -1.15260182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72194137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.659973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15260182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.039220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101457 KachelY 97875 1.72194137 -1.15260182 98.659973 -66.039220
    Oben rechts KachelX + 1 101458 KachelY 97875 1.72198931 -1.15260182 98.662720 -66.039220
    Unten links KachelX 101457 KachelY + 1 97876 1.72194137 -1.15262129 98.659973 -66.040335
    Unten rechts KachelX + 1 101458 KachelY + 1 97876 1.72198931 -1.15262129 98.662720 -66.040335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15260182--1.15262129) × R
    1.94699999997994e-05 × 6371000     		dl = 124.043369998722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15260182--1.15262129) × R
    1.94699999997994e-05 × 6371000     		dr = 124.043369998722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72194137-1.72198931) × cos(-1.15260182) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406111213468107 × 6371000     		do = 124.036817896288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72194137-1.72198931) × cos(-1.15262129) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.406093421244466 × 6371000     		du = 124.031383693216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15260182)-sin(-1.15262129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406111213468107-0.406093421244466)×R²
    abs(1.72198931-1.72194137)×1.77922236410666e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.77922236410666e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.77922236410666e-05×40589641000000     		ar = 15385.6078579381m²