Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101457 / 97201
↖ ↑ ↗
← S 65.276242°
E 98.659973°		 ← 127.74 m → S 65.276242°
E 98.662720°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
S 65.277391°
E 98.659973°		 ← 127.74 m →
16 317 m²		 S 65.277391°
E 98.662720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774059295654297 y=0.741588592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774059295654297 × 217)
    floor (0.774059295654297 × 131072)
    floor (101457.5)     		tx = 101457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741588592529297 × 217)
    floor (0.741588592529297 × 131072)
    floor (97201.5)     		ty = 97201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101457 / 97201 ti = "17/101457/97201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101457/97201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101457 ÷ 217
    101457 ÷ 131072     		x = 0.774055480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97201 ÷ 217
    97201 ÷ 131072     		y = 0.741584777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774055480957031 × 2 - 1) × π
    0.548110961914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.72194137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741584777832031 × 2 - 1) × π
    -0.483169555664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.51792192646908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72194137} λ = 1.72194137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51792192646908))-π/2
    2×atan(0.219166858904245)-π/2
    2×0.215755487536916-π/2
    0.431510975073831-1.57079632675     		φ = -1.13928535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72194137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.659973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13928535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.276242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101457 KachelY 97201 1.72194137 -1.13928535 98.659973 -65.276242
    Oben rechts KachelX + 1 101458 KachelY 97201 1.72198931 -1.13928535 98.662720 -65.276242
    Unten links KachelX 101457 KachelY + 1 97202 1.72194137 -1.13930540 98.659973 -65.277391
    Unten rechts KachelX + 1 101458 KachelY + 1 97202 1.72198931 -1.13930540 98.662720 -65.277391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13928535--1.13930540) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13928535--1.13930540) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72194137-1.72198931) × cos(-1.13928535) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.418243752193191 × 6371000     		do = 127.74240751449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72194137-1.72198931) × cos(-1.13930540) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.418225539995779 × 6371000     		du = 127.736845040618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13928535)-sin(-1.13930540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418243752193191-0.418225539995779)×R²
    abs(1.72198931-1.72194137)×1.82121974118266e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.82121974118266e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.82121974118266e-05×40589641000000     		ar = 16317.2746389252m²