Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101456 / 97292
↖ ↑ ↗
← S 65.380571°
E 98.657226°		 ← 127.24 m → S 65.380571°
E 98.659973°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
S 65.381715°
E 98.657226°		 ← 127.23 m →
16 188 m²		 S 65.381715°
E 98.659973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774051666259766 y=0.742282867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774051666259766 × 217)
    floor (0.774051666259766 × 131072)
    floor (101456.5)     		tx = 101456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742282867431641 × 217)
    floor (0.742282867431641 × 131072)
    floor (97292.5)     		ty = 97292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101456 / 97292 ti = "17/101456/97292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101456/97292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101456 ÷ 217
    101456 ÷ 131072     		x = 0.7740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97292 ÷ 217
    97292 ÷ 131072     		y = 0.742279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7740478515625 × 2 - 1) × π
    0.548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72189343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.48455810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5222841843345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72189343} λ = 1.72189343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5222841843345))-π/2
    2×atan(0.218212878816517)-π/2
    2×0.214845049443037-π/2
    0.429690098886075-1.57079632675     		φ = -1.14110623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72189343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.657226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14110623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.380571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101456 KachelY 97292 1.72189343 -1.14110623 98.657226 -65.380571
    Oben rechts KachelX + 1 101457 KachelY 97292 1.72194137 -1.14110623 98.659973 -65.380571
    Unten links KachelX 101456 KachelY + 1 97293 1.72189343 -1.14112620 98.657226 -65.381715
    Unten rechts KachelX + 1 101457 KachelY + 1 97293 1.72194137 -1.14112620 98.659973 -65.381715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14110623--1.14112620) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dl = 127.228869999167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14110623--1.14112620) × R
    1.99699999998693e-05 × 6371000     		dr = 127.228869999167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72189343-1.72194137) × cos(-1.14110623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416589091016431 × 6371000     		do = 127.237031399537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72189343-1.72194137) × cos(-1.14112620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416570936308299 × 6371000     		du = 127.231486484372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14110623)-sin(-1.14112620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416589091016431-0.416570936308299)×R²
    abs(1.72194137-1.72189343)×1.81547081322675e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81547081322675e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81547081322675e-05×40589641000000     		ar = 16187.870991048m²