Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101456 / 97200
↖ ↑ ↗
← S 65.275093°
E 98.657226°		 ← 127.75 m → S 65.275093°
E 98.659973°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
S 65.276242°
E 98.657226°		 ← 127.74 m →
16 318 m²		 S 65.276242°
E 98.659973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774051666259766 y=0.741580963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774051666259766 × 217)
    floor (0.774051666259766 × 131072)
    floor (101456.5)     		tx = 101456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741580963134766 × 217)
    floor (0.741580963134766 × 131072)
    floor (97200.5)     		ty = 97200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101456 / 97200 ti = "17/101456/97200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101456/97200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101456 ÷ 217
    101456 ÷ 131072     		x = 0.7740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97200 ÷ 217
    97200 ÷ 131072     		y = 0.7415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7740478515625 × 2 - 1) × π
    0.548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72189343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51787398956946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72189343} λ = 1.72189343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51787398956946))-π/2
    2×atan(0.219177365335781)-π/2
    2×0.215765512409514-π/2
    0.431531024819028-1.57079632675     		φ = -1.13926530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72189343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.657226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13926530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.275093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101456 KachelY 97200 1.72189343 -1.13926530 98.657226 -65.275093
    Oben rechts KachelX + 1 101457 KachelY 97200 1.72194137 -1.13926530 98.659973 -65.275093
    Unten links KachelX 101456 KachelY + 1 97201 1.72189343 -1.13928535 98.657226 -65.276242
    Unten rechts KachelX + 1 101457 KachelY + 1 97201 1.72194137 -1.13928535 98.659973 -65.276242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13926530--1.13928535) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13926530--1.13928535) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72189343-1.72194137) × cos(-1.13926530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418261964222467 × 6371000     		do = 127.747969936417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72189343-1.72194137) × cos(-1.13928535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418243752193191 × 6371000     		du = 127.742407513898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13926530)-sin(-1.13928535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418261964222467-0.418243752193191)×R²
    abs(1.72194137-1.72189343)×1.82120292767651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82120292767651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82120292767651e-05×40589641000000     		ar = 16317.9851777693m²