Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101455 / 97290
↖ ↑ ↗
← S 65.378283°
E 98.654480°		 ← 127.22 m → S 65.378283°
E 98.657226°		 →
↑
127.23 m
↓
↑
127.23 m
↓
S 65.379427°
E 98.654480°		 ← 127.22 m →
16 186 m²		 S 65.379427°
E 98.657226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774044036865234 y=0.742267608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774044036865234 × 217)
    floor (0.774044036865234 × 131072)
    floor (101455.5)     		tx = 101455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742267608642578 × 217)
    floor (0.742267608642578 × 131072)
    floor (97290.5)     		ty = 97290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101455 / 97290 ti = "17/101455/97290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101455/97290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101455 ÷ 217
    101455 ÷ 131072     		x = 0.774040222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97290 ÷ 217
    97290 ÷ 131072     		y = 0.742263793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774040222167969 × 2 - 1) × π
    0.548080444335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.72184550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742263793945312 × 2 - 1) × π
    -0.484527587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52218831053526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72184550} λ = 1.72184550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52218831053526))-π/2
    2×atan(0.218233800717167)-π/2
    2×0.214865020302863-π/2
    0.429730040605726-1.57079632675     		φ = -1.14106629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72184550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.654480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14106629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.378283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101455 KachelY 97290 1.72184550 -1.14106629 98.654480 -65.378283
    Oben rechts KachelX + 1 101456 KachelY 97290 1.72189343 -1.14106629 98.657226 -65.378283
    Unten links KachelX 101455 KachelY + 1 97291 1.72184550 -1.14108626 98.654480 -65.379427
    Unten rechts KachelX + 1 101456 KachelY + 1 97291 1.72189343 -1.14108626 98.657226 -65.379427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14106629--1.14108626) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dl = 127.228870000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14106629--1.14108626) × R
    1.99700000000913e-05 × 6371000     		dr = 127.228870000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72184550-1.72189343) × cos(-1.14106629) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416625399934281 × 6371000     		do = 127.221577873572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72184550-1.72189343) × cos(-1.14108626) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416607245558427 × 6371000     		du = 127.216034216508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14106629)-sin(-1.14108626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416625399934281-0.416607245558427)×R²
    abs(1.72189343-1.72184550)×1.81543758530633e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81543758530633e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81543758530633e-05×40589641000000     		ar = 16185.9049364805m²