Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101455 / 97193
↖ ↑ ↗
← S 65.267051°
E 98.654480°		 ← 127.76 m → S 65.267051°
E 98.657226°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
S 65.268200°
E 98.654480°		 ← 127.75 m →
16 328 m²		 S 65.268200°
E 98.657226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774044036865234 y=0.741527557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774044036865234 × 217)
    floor (0.774044036865234 × 131072)
    floor (101455.5)     		tx = 101455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741527557373047 × 217)
    floor (0.741527557373047 × 131072)
    floor (97193.5)     		ty = 97193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101455 / 97193 ti = "17/101455/97193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101455/97193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101455 ÷ 217
    101455 ÷ 131072     		x = 0.774040222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97193 ÷ 217
    97193 ÷ 131072     		y = 0.741523742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774040222167969 × 2 - 1) × π
    0.548080444335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.72184550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741523742675781 × 2 - 1) × π
    -0.483047485351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.51753843127212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72184550} λ = 1.72184550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51753843127212))-π/2
    2×atan(0.219250924460306)-π/2
    2×0.215835698740991-π/2
    0.431671397481981-1.57079632675     		φ = -1.13912493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72184550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.654480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13912493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.267051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101455 KachelY 97193 1.72184550 -1.13912493 98.654480 -65.267051
    Oben rechts KachelX + 1 101456 KachelY 97193 1.72189343 -1.13912493 98.657226 -65.267051
    Unten links KachelX 101455 KachelY + 1 97194 1.72184550 -1.13914499 98.654480 -65.268200
    Unten rechts KachelX + 1 101456 KachelY + 1 97194 1.72189343 -1.13914499 98.657226 -65.268200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13912493--1.13914499) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13912493--1.13914499) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72184550-1.72189343) × cos(-1.13912493) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418389461884363 × 6371000     		do = 127.760255411695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72184550-1.72189343) × cos(-1.13914499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418371241949643 × 6371000     		du = 127.754691735442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13912493)-sin(-1.13914499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418389461884363-0.418371241949643)×R²
    abs(1.72189343-1.72184550)×1.82199347198431e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82199347198431e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82199347198431e-05×40589641000000     		ar = 16327.6938551666m²