Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101454 / 97194
↖ ↑ ↗
← S 65.268200°
E 98.651733°		 ← 127.78 m → S 65.268200°
E 98.654480°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
S 65.269349°
E 98.651733°		 ← 127.78 m →
16 322 m²		 S 65.269349°
E 98.654480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774036407470703 y=0.741535186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774036407470703 × 217)
    floor (0.774036407470703 × 131072)
    floor (101454.5)     		tx = 101454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741535186767578 × 217)
    floor (0.741535186767578 × 131072)
    floor (97194.5)     		ty = 97194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101454 / 97194 ti = "17/101454/97194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101454/97194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101454 ÷ 217
    101454 ÷ 131072     		x = 0.774032592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97194 ÷ 217
    97194 ÷ 131072     		y = 0.741531372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774032592773438 × 2 - 1) × π
    0.548065185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72179756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741531372070312 × 2 - 1) × π
    -0.483062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51758636817174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72179756} λ = 1.72179756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51758636817174))-π/2
    2×atan(0.219240414502658)-π/2
    2×0.215825670812465-π/2
    0.431651341624931-1.57079632675     		φ = -1.13914499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72179756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.651733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13914499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.268200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101454 KachelY 97194 1.72179756 -1.13914499 98.651733 -65.268200
    Oben rechts KachelX + 1 101455 KachelY 97194 1.72184550 -1.13914499 98.654480 -65.268200
    Unten links KachelX 101454 KachelY + 1 97195 1.72179756 -1.13916504 98.651733 -65.269349
    Unten rechts KachelX + 1 101455 KachelY + 1 97195 1.72184550 -1.13916504 98.654480 -65.269349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13914499--1.13916504) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13914499--1.13916504) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72179756-1.72184550) × cos(-1.13914499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418371241949643 × 6371000     		do = 127.781346167105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72179756-1.72184550) × cos(-1.13916504) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418353030929414 × 6371000     		du = 127.775784052775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13914499)-sin(-1.13916504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418371241949643-0.418353030929414)×R²
    abs(1.72184550-1.72179756)×1.82110202289754e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82110202289754e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82110202289754e-05×40589641000000     		ar = 16322.2486288342m²