Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101453 / 97113
↖ ↑ ↗
← S 65.174959°
E 98.648987°		 ← 128.23 m → S 65.174959°
E 98.651733°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.176112°
E 98.648987°		 ← 128.23 m →
16 437 m²		 S 65.176112°
E 98.651733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774028778076172 y=0.740917205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774028778076172 × 217)
    floor (0.774028778076172 × 131072)
    floor (101453.5)     		tx = 101453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740917205810547 × 217)
    floor (0.740917205810547 × 131072)
    floor (97113.5)     		ty = 97113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101453 / 97113 ti = "17/101453/97113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101453/97113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101453 ÷ 217
    101453 ÷ 131072     		x = 0.774024963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97113 ÷ 217
    97113 ÷ 131072     		y = 0.740913391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774024963378906 × 2 - 1) × π
    0.548049926757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72174962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740913391113281 × 2 - 1) × π
    -0.481826782226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.51370347930251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72174962} λ = 1.72174962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51370347930251))-π/2
    2×atan(0.220093355533795)-π/2
    2×0.216639348952381-π/2
    0.433278697904762-1.57079632675     		φ = -1.13751763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72174962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.648987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13751763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.174959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101453 KachelY 97113 1.72174962 -1.13751763 98.648987 -65.174959
    Oben rechts KachelX + 1 101454 KachelY 97113 1.72179756 -1.13751763 98.651733 -65.174959
    Unten links KachelX 101453 KachelY + 1 97114 1.72174962 -1.13753775 98.648987 -65.176112
    Unten rechts KachelX + 1 101454 KachelY + 1 97114 1.72179756 -1.13753775 98.651733 -65.176112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13751763--1.13753775) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dl = 128.184519999018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13751763--1.13753775) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dr = 128.184519999018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72174962-1.72179756) × cos(-1.13751763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419848779532003 × 6371000     		do = 128.232624176575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72174962-1.72179756) × cos(-1.13753775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419830518654264 × 6371000     		du = 128.227046834478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13751763)-sin(-1.13753775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419848779532003-0.419830518654264)×R²
    abs(1.72179756-1.72174962)×1.82608777387072e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82608777387072e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82608777387072e-05×40589641000000     		ar = 16437.0799143052m²