Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101452 / 97309
↖ ↑ ↗
← S 65.400015°
E 98.646240°		 ← 127.12 m → S 65.400015°
E 98.648987°		 →
↑
127.17 m
↓
↑
127.17 m
↓
S 65.401158°
E 98.646240°		 ← 127.11 m →
16 164 m²		 S 65.401158°
E 98.648987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774021148681641 y=0.742412567138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774021148681641 × 217)
    floor (0.774021148681641 × 131072)
    floor (101452.5)     		tx = 101452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742412567138672 × 217)
    floor (0.742412567138672 × 131072)
    floor (97309.5)     		ty = 97309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101452 / 97309 ti = "17/101452/97309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101452/97309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101452 ÷ 217
    101452 ÷ 131072     		x = 0.774017333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97309 ÷ 217
    97309 ÷ 131072     		y = 0.742408752441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774017333984375 × 2 - 1) × π
    0.54803466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72170169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742408752441406 × 2 - 1) × π
    -0.484817504882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.52309911162804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72170169} λ = 1.72170169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52309911162804))-π/2
    2×atan(0.218035123624383)-π/2
    2×0.214675367397205-π/2
    0.42935073479441-1.57079632675     		φ = -1.14144559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72170169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.646240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14144559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.400015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101452 KachelY 97309 1.72170169 -1.14144559 98.646240 -65.400015
    Oben rechts KachelX + 1 101453 KachelY 97309 1.72174962 -1.14144559 98.648987 -65.400015
    Unten links KachelX 101452 KachelY + 1 97310 1.72170169 -1.14146555 98.646240 -65.401158
    Unten rechts KachelX + 1 101453 KachelY + 1 97310 1.72174962 -1.14146555 98.648987 -65.401158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14144559--1.14146555) × R
    1.995999999993e-05 × 6371000     		dl = 127.165159999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14144559--1.14146555) × R
    1.995999999993e-05 × 6371000     		dr = 127.165159999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72170169-1.72174962) × cos(-1.14144559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41628055659029 × 6371000     		do = 127.116275810019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72170169-1.72174962) × cos(-1.14146555) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416262408152477 × 6371000     		du = 127.110733966207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14144559)-sin(-1.14146555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41628055659029-0.416262408152477)×R²
    abs(1.72174962-1.72170169)×1.81484378123375e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81484378123375e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81484378123375e-05×40589641000000     		ar = 16164.4091878456m²