Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10145 / 14363
↖ ↑ ↗
← S 79.282228°
E 42.912598°		 ← 454.37 m → S 79.282228°
E 42.934570°		 →
↑
454.25 m
↓
↑
454.25 m
↓
S 79.286313°
E 42.912598°		 ← 454.20 m →
206 359 m²		 S 79.286313°
E 42.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619232177734375 y=0.876678466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619232177734375 × 214)
    floor (0.619232177734375 × 16384)
    floor (10145.5)     		tx = 10145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876678466796875 × 214)
    floor (0.876678466796875 × 16384)
    floor (14363.5)     		ty = 14363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10145 / 14363 ti = "14/10145/14363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10145/14363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10145 ÷ 214
    10145 ÷ 16384     		x = 0.61920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14363 ÷ 214
    14363 ÷ 16384     		y = 0.87664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61920166015625 × 2 - 1) × π
    0.2384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.74896612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.7532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36654886044293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74896612} λ = 0.74896612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36654886044293))-π/2
    2×atan(0.0938038986460532)-π/2
    2×0.093530209945667-π/2
    0.187060419891334-1.57079632675     		φ = -1.38373591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74896612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.912598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38373591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.282228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10145 KachelY 14363 0.74896612 -1.38373591 42.912598 -79.282228
    Oben rechts KachelX + 1 10146 KachelY 14363 0.74934961 -1.38373591 42.934570 -79.282228
    Unten links KachelX 10145 KachelY + 1 14364 0.74896612 -1.38380721 42.912598 -79.286313
    Unten rechts KachelX + 1 10146 KachelY + 1 14364 0.74934961 -1.38380721 42.934570 -79.286313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38373591--1.38380721) × R
    7.13000000001074e-05 × 6371000     		dl = 454.252300000684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38373591--1.38380721) × R
    7.13000000001074e-05 × 6371000     		dr = 454.252300000684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74896612-0.74934961) × cos(-1.38373591) × R
    0.000383490000000042 × 0.185971399998607 × 6371000     		do = 454.368074993651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74896612-0.74934961) × cos(-1.38380721) × R
    0.000383490000000042 × 0.185901343343195 × 6371000     		du = 454.196911537011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38373591)-sin(-1.38380721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185971399998607-0.185901343343195)×R²
    abs(0.74934961-0.74896612)×7.0056655411932e-05×R²
    0.000383490000000042×7.0056655411932e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.0056655411932e-05×40589641000000     		ar = 206358.86750212m²