Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101449 / 97444
↖ ↑ ↗
← S 65.553914°
E 98.638001°		 ← 126.37 m → S 65.553914°
E 98.640747°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
S 65.555050°
E 98.638001°		 ← 126.36 m →
15 973 m²		 S 65.555050°
E 98.640747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773998260498047 y=0.743442535400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773998260498047 × 217)
    floor (0.773998260498047 × 131072)
    floor (101449.5)     		tx = 101449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743442535400391 × 217)
    floor (0.743442535400391 × 131072)
    floor (97444.5)     		ty = 97444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101449 / 97444 ti = "17/101449/97444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101449/97444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101449 ÷ 217
    101449 ÷ 131072     		x = 0.773994445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97444 ÷ 217
    97444 ÷ 131072     		y = 0.743438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773994445800781 × 2 - 1) × π
    0.547988891601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.72155788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.48687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52957059307675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72155788} λ = 1.72155788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52957059307675))-π/2
    2×atan(0.216628669197079)-π/2
    2×0.213332348183611-π/2
    0.426664696367221-1.57079632675     		φ = -1.14413163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72155788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.638001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14413163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.553914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101449 KachelY 97444 1.72155788 -1.14413163 98.638001 -65.553914
    Oben rechts KachelX + 1 101450 KachelY 97444 1.72160581 -1.14413163 98.640747 -65.553914
    Unten links KachelX 101449 KachelY + 1 97445 1.72155788 -1.14415147 98.638001 -65.555050
    Unten rechts KachelX + 1 101450 KachelY + 1 97445 1.72160581 -1.14415147 98.640747 -65.555050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14413163--1.14415147) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14413163--1.14415147) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72155788-1.72160581) × cos(-1.14413163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413836812987006 × 6371000     		do = 126.37004930252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72155788-1.72160581) × cos(-1.14415147) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413818751540095 × 6371000     		du = 126.364534022426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14413163)-sin(-1.14415147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413836812987006-0.413818751540095)×R²
    abs(1.72160581-1.72155788)×1.80614469110219e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80614469110219e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80614469110219e-05×40589641000000     		ar = 15972.9065415946m²