Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101447 / 97219
↖ ↑ ↗
← S 65.296912°
E 98.632507°		 ← 127.64 m → S 65.296912°
E 98.635254°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
S 65.298059°
E 98.632507°		 ← 127.64 m →
16 288 m²		 S 65.298059°
E 98.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773983001708984 y=0.741725921630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773983001708984 × 217)
    floor (0.773983001708984 × 131072)
    floor (101447.5)     		tx = 101447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741725921630859 × 217)
    floor (0.741725921630859 × 131072)
    floor (97219.5)     		ty = 97219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101447 / 97219 ti = "17/101447/97219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101447/97219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101447 ÷ 217
    101447 ÷ 131072     		x = 0.773979187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97219 ÷ 217
    97219 ÷ 131072     		y = 0.741722106933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773979187011719 × 2 - 1) × π
    0.547958374023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.72146200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741722106933594 × 2 - 1) × π
    -0.483444213867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.51878479066224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72146200} λ = 1.72146200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51878479066224))-π/2
    2×atan(0.218977829234564)-π/2
    2×0.215575114457316-π/2
    0.431150228914632-1.57079632675     		φ = -1.13964610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72146200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.632507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13964610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.296912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101447 KachelY 97219 1.72146200 -1.13964610 98.632507 -65.296912
    Oben rechts KachelX + 1 101448 KachelY 97219 1.72150994 -1.13964610 98.635254 -65.296912
    Unten links KachelX 101447 KachelY + 1 97220 1.72146200 -1.13966613 98.632507 -65.298059
    Unten rechts KachelX + 1 101448 KachelY + 1 97220 1.72150994 -1.13966613 98.635254 -65.298059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13964610--1.13966613) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dl = 127.611129999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13964610--1.13966613) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dr = 127.611129999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72146200-1.72150994) × cos(-1.13964610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417916043195066 × 6371000     		do = 127.642316750641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72146200-1.72150994) × cos(-1.13966613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417897846143613 × 6371000     		du = 127.636758902735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13964610)-sin(-1.13966613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417916043195066-0.417897846143613)×R²
    abs(1.72150994-1.72146200)×1.81970514529506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81970514529506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81970514529506e-05×40589641000000     		ar = 16288.2256553566m²