Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101446 / 97118
↖ ↑ ↗
← S 65.180724°
E 98.629761°		 ← 128.18 m → S 65.180724°
E 98.632507°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.181877°
E 98.629761°		 ← 128.17 m →
16 430 m²		 S 65.181877°
E 98.632507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773975372314453 y=0.740955352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773975372314453 × 217)
    floor (0.773975372314453 × 131072)
    floor (101446.5)     		tx = 101446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740955352783203 × 217)
    floor (0.740955352783203 × 131072)
    floor (97118.5)     		ty = 97118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101446 / 97118 ti = "17/101446/97118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101446/97118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101446 ÷ 217
    101446 ÷ 131072     		x = 0.773971557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97118 ÷ 217
    97118 ÷ 131072     		y = 0.740951538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773971557617188 × 2 - 1) × π
    0.547943115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72141407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740951538085938 × 2 - 1) × π
    -0.481903076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51394316380061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72141407} λ = 1.72141407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51394316380061))-π/2
    2×atan(0.220040608889868)-π/2
    2×0.216589038802684-π/2
    0.433178077605367-1.57079632675     		φ = -1.13761825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72141407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.629761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13761825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.180724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101446 KachelY 97118 1.72141407 -1.13761825 98.629761 -65.180724
    Oben rechts KachelX + 1 101447 KachelY 97118 1.72146200 -1.13761825 98.632507 -65.180724
    Unten links KachelX 101446 KachelY + 1 97119 1.72141407 -1.13763837 98.629761 -65.181877
    Unten rechts KachelX + 1 101447 KachelY + 1 97119 1.72146200 -1.13763837 98.632507 -65.181877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13761825--1.13763837) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dl = 128.184519999018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13761825--1.13763837) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dr = 128.184519999018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72141407-1.72146200) × cos(-1.13761825) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419757455291122 × 6371000     		do = 128.17798865541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72141407-1.72146200) × cos(-1.13763837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419739193563521 × 6371000     		du = 128.172412217198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13761825)-sin(-1.13763837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419757455291122-0.419739193563521)×R²
    abs(1.72146200-1.72141407)×1.82617276008323e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82617276008323e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82617276008323e-05×40589641000000     		ar = 16430.0765441324m²