Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101444 / 97860
↖ ↑ ↗
← S 66.022483°
E 98.624267°		 ← 124.12 m → S 66.022483°
E 98.627014°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
S 66.023599°
E 98.624267°		 ← 124.11 m →
15 404 m²		 S 66.023599°
E 98.627014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773960113525391 y=0.746616363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773960113525391 × 217)
    floor (0.773960113525391 × 131072)
    floor (101444.5)     		tx = 101444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746616363525391 × 217)
    floor (0.746616363525391 × 131072)
    floor (97860.5)     		ty = 97860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101444 / 97860 ti = "17/101444/97860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101444/97860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101444 ÷ 217
    101444 ÷ 131072     		x = 0.773956298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97860 ÷ 217
    97860 ÷ 131072     		y = 0.746612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773956298828125 × 2 - 1) × π
    0.54791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72131819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.49322509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5495123433187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72131819} λ = 1.72131819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5495123433187))-π/2
    2×atan(0.212351503210619)-π/2
    2×0.209243307717951-π/2
    0.418486615435903-1.57079632675     		φ = -1.15230971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72131819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.624267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15230971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.022483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101444 KachelY 97860 1.72131819 -1.15230971 98.624267 -66.022483
    Oben rechts KachelX + 1 101445 KachelY 97860 1.72136613 -1.15230971 98.627014 -66.022483
    Unten links KachelX 101444 KachelY + 1 97861 1.72131819 -1.15232919 98.624267 -66.023599
    Unten rechts KachelX + 1 101445 KachelY + 1 97861 1.72136613 -1.15232919 98.627014 -66.023599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15230971--1.15232919) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15230971--1.15232919) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72131819-1.72136613) × cos(-1.15230971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406378133167369 × 6371000     		do = 124.118342042381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72131819-1.72136613) × cos(-1.15232919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406360334117016 × 6371000     		du = 124.112905754256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15230971)-sin(-1.15232919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406378133167369-0.406360334117016)×R²
    abs(1.72136613-1.72131819)×1.77990503523184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77990503523184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77990503523184e-05×40589641000000     		ar = 15403.6276648611m²