Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101444 / 97284
↖ ↑ ↗
← S 65.371416°
E 98.624267°		 ← 127.28 m → S 65.371416°
E 98.627014°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
S 65.372560°
E 98.624267°		 ← 127.28 m →
16 202 m²		 S 65.372560°
E 98.627014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773960113525391 y=0.742221832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773960113525391 × 217)
    floor (0.773960113525391 × 131072)
    floor (101444.5)     		tx = 101444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742221832275391 × 217)
    floor (0.742221832275391 × 131072)
    floor (97284.5)     		ty = 97284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101444 / 97284 ti = "17/101444/97284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101444/97284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101444 ÷ 217
    101444 ÷ 131072     		x = 0.773956298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97284 ÷ 217
    97284 ÷ 131072     		y = 0.742218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773956298828125 × 2 - 1) × π
    0.54791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72131819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.48443603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52190068913754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72131819} λ = 1.72131819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52190068913754))-π/2
    2×atan(0.218296578455637)-π/2
    2×0.214924943326851-π/2
    0.429849886653703-1.57079632675     		φ = -1.14094644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72131819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.624267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14094644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.371416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101444 KachelY 97284 1.72131819 -1.14094644 98.624267 -65.371416
    Oben rechts KachelX + 1 101445 KachelY 97284 1.72136613 -1.14094644 98.627014 -65.371416
    Unten links KachelX 101444 KachelY + 1 97285 1.72131819 -1.14096642 98.624267 -65.372560
    Unten rechts KachelX + 1 101445 KachelY + 1 97285 1.72136613 -1.14096642 98.627014 -65.372560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14094644--1.14096642) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14094644--1.14096642) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72131819-1.72136613) × cos(-1.14094644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416734349970832 × 6371000     		do = 127.281397223177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72131819-1.72136613) × cos(-1.14096642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416716187501875 × 6371000     		du = 127.275849937655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14094644)-sin(-1.14096642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416734349970832-0.416716187501875)×R²
    abs(1.72136613-1.72131819)×1.81624689576387e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81624689576387e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81624689576387e-05×40589641000000     		ar = 16201.6243747723m²