Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101443 / 97124
↖ ↑ ↗
← S 65.187641°
E 98.621521°		 ← 128.17 m → S 65.187641°
E 98.624267°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.188793°
E 98.621521°		 ← 128.17 m →
16 429 m²		 S 65.188793°
E 98.624267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773952484130859 y=0.741001129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773952484130859 × 217)
    floor (0.773952484130859 × 131072)
    floor (101443.5)     		tx = 101443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741001129150391 × 217)
    floor (0.741001129150391 × 131072)
    floor (97124.5)     		ty = 97124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101443 / 97124 ti = "17/101443/97124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101443/97124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101443 ÷ 217
    101443 ÷ 131072     		x = 0.773948669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97124 ÷ 217
    97124 ÷ 131072     		y = 0.740997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773948669433594 × 2 - 1) × π
    0.547897338867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.72127025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.48199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51423078519833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72127025} λ = 1.72127025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51423078519833))-π/2
    2×atan(0.219977329603059)-π/2
    2×0.216528681068433-π/2
    0.433057362136866-1.57079632675     		φ = -1.13773896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72127025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.621521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13773896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.187641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101443 KachelY 97124 1.72127025 -1.13773896 98.621521 -65.187641
    Oben rechts KachelX + 1 101444 KachelY 97124 1.72131819 -1.13773896 98.624267 -65.187641
    Unten links KachelX 101443 KachelY + 1 97125 1.72127025 -1.13775908 98.621521 -65.188793
    Unten rechts KachelX + 1 101444 KachelY + 1 97125 1.72131819 -1.13775908 98.624267 -65.188793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13773896--1.13775908) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dl = 128.184519999018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13773896--1.13775908) × R
    2.01199999998458e-05 × 6371000     		dr = 128.184519999018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72127025-1.72131819) × cos(-1.13773896) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.419647891453786 × 6371000     		do = 128.171267787222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72127025-1.72131819) × cos(-1.13775908) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.419629628706882 × 6371000     		du = 128.165689874234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13773896)-sin(-1.13775908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419647891453786-0.419629628706882)×R²
    abs(1.72131819-1.72127025)×1.82627469043628e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.82627469043628e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.82627469043628e-05×40589641000000     		ar = 16429.2149386158m²