Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101440 / 98240
↖ ↑ ↗
← S 66.443106°
E 98.613281°		 ← 122.07 m → S 66.443106°
E 98.616028°		 →
↑
122.07 m
↓
↑
122.07 m
↓
S 66.444204°
E 98.613281°		 ← 122.06 m →
14 900 m²		 S 66.444204°
E 98.616028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773929595947266 y=0.749515533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773929595947266 × 217)
    floor (0.773929595947266 × 131072)
    floor (101440.5)     		tx = 101440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749515533447266 × 217)
    floor (0.749515533447266 × 131072)
    floor (98240.5)     		ty = 98240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101440 / 98240 ti = "17/101440/98240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101440/98240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101440 ÷ 217
    101440 ÷ 131072     		x = 0.77392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98240 ÷ 217
    98240 ÷ 131072     		y = 0.74951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72112644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    -0.4990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56772836517432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72112644} λ = 1.72112644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56772836517432))-π/2
    2×atan(0.208518322235628)-π/2
    2×0.205572676496029-π/2
    0.411145352992059-1.57079632675     		φ = -1.15965097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72112644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15965097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.443106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101440 KachelY 98240 1.72112644 -1.15965097 98.613281 -66.443106
    Oben rechts KachelX + 1 101441 KachelY 98240 1.72117438 -1.15965097 98.616028 -66.443106
    Unten links KachelX 101440 KachelY + 1 98241 1.72112644 -1.15967013 98.613281 -66.444204
    Unten rechts KachelX + 1 101441 KachelY + 1 98241 1.72117438 -1.15967013 98.616028 -66.444204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15965097--1.15967013) × R
    1.91600000001291e-05 × 6371000     		dl = 122.068360000822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15965097--1.15967013) × R
    1.91600000001291e-05 × 6371000     		dr = 122.068360000822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72112644-1.72117438) × cos(-1.15965097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399659496864673 × 6371000     		do = 122.06629757784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72112644-1.72117438) × cos(-1.15967013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39964193351537 × 6371000     		du = 122.060933278883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15965097)-sin(-1.15967013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399659496864673-0.39964193351537)×R²
    abs(1.72117438-1.72112644)×1.75633493027516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75633493027516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75633493027516e-05×40589641000000     		ar = 14900.1053514101m²