Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101440 / 97856
↖ ↑ ↗
← S 66.018018°
E 98.613281°		 ← 124.14 m → S 66.018018°
E 98.616028°		 →
↑
124.17 m
↓
↑
124.17 m
↓
S 66.019135°
E 98.613281°		 ← 124.13 m →
15 414 m²		 S 66.019135°
E 98.616028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773929595947266 y=0.746585845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773929595947266 × 217)
    floor (0.773929595947266 × 131072)
    floor (101440.5)     		tx = 101440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746585845947266 × 217)
    floor (0.746585845947266 × 131072)
    floor (97856.5)     		ty = 97856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101440 / 97856 ti = "17/101440/97856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101440/97856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101440 ÷ 217
    101440 ÷ 131072     		x = 0.77392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97856 ÷ 217
    97856 ÷ 131072     		y = 0.74658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72112644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74658203125 × 2 - 1) × π
    -0.4931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72112644} λ = 1.72112644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54932059572021))-π/2
    2×atan(0.212392225005422)-π/2
    2×0.209282272146546-π/2
    0.418564544293093-1.57079632675     		φ = -1.15223178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72112644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15223178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.018018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101440 KachelY 97856 1.72112644 -1.15223178 98.613281 -66.018018
    Oben rechts KachelX + 1 101441 KachelY 97856 1.72117438 -1.15223178 98.616028 -66.018018
    Unten links KachelX 101440 KachelY + 1 97857 1.72112644 -1.15225127 98.613281 -66.019135
    Unten rechts KachelX + 1 101441 KachelY + 1 97857 1.72117438 -1.15225127 98.616028 -66.019135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15223178--1.15225127) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dl = 124.170790000777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15223178--1.15225127) × R
    1.94900000001219e-05 × 6371000     		dr = 124.170790000777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72112644-1.72117438) × cos(-1.15223178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406449336963359 × 6371000     		do = 124.140089514462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72112644-1.72117438) × cos(-1.15225127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406431529393148 × 6371000     		du = 124.134650624153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15223178)-sin(-1.15225127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406449336963359-0.406431529393148)×R²
    abs(1.72117438-1.72112644)×1.78075702113034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78075702113034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78075702113034e-05×40589641000000     		ar = 15414.2353106078m²