Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101438 / 97209
↖ ↑ ↗
← S 65.285431°
E 98.607788°		 ← 127.70 m → S 65.285431°
E 98.610535°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
S 65.286579°
E 98.607788°		 ← 127.69 m →
16 303 m²		 S 65.286579°
E 98.610535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773914337158203 y=0.741649627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773914337158203 × 217)
    floor (0.773914337158203 × 131072)
    floor (101438.5)     		tx = 101438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741649627685547 × 217)
    floor (0.741649627685547 × 131072)
    floor (97209.5)     		ty = 97209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101438 / 97209 ti = "17/101438/97209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101438/97209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101438 ÷ 217
    101438 ÷ 131072     		x = 0.773910522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97209 ÷ 217
    97209 ÷ 131072     		y = 0.741645812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773910522460938 × 2 - 1) × π
    0.547821044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72103057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741645812988281 × 2 - 1) × π
    -0.483291625976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.51830542166604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72103057} λ = 1.72103057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51830542166604))-π/2
    2×atan(0.21908282558074)-π/2
    2×0.215675304268909-π/2
    0.431350608537818-1.57079632675     		φ = -1.13944572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72103057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.607788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13944572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.285431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101438 KachelY 97209 1.72103057 -1.13944572 98.607788 -65.285431
    Oben rechts KachelX + 1 101439 KachelY 97209 1.72107851 -1.13944572 98.610535 -65.285431
    Unten links KachelX 101438 KachelY + 1 97210 1.72103057 -1.13946576 98.607788 -65.286579
    Unten rechts KachelX + 1 101439 KachelY + 1 97210 1.72107851 -1.13946576 98.610535 -65.286579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13944572--1.13946576) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dl = 127.674839999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13944572--1.13946576) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dr = 127.674839999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72103057-1.72107851) × cos(-1.13944572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418098077158787 × 6371000     		do = 127.697914608716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72103057-1.72107851) × cos(-1.13946576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418079872700913 × 6371000     		du = 127.692354498698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13944572)-sin(-1.13946576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418098077158787-0.418079872700913)×R²
    abs(1.72107851-1.72103057)×1.82044578741491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82044578741491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82044578741491e-05×40589641000000     		ar = 16303.4558733103m²