Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101435 / 98167
↖ ↑ ↗
← S 66.362846°
E 98.599548°		 ← 122.46 m → S 66.362846°
E 98.602295°		 →
↑
122.45 m
↓
↑
122.45 m
↓
S 66.363947°
E 98.599548°		 ← 122.45 m →
14 995 m²		 S 66.363947°
E 98.602295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773891448974609 y=0.748958587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773891448974609 × 217)
    floor (0.773891448974609 × 131072)
    floor (101435.5)     		tx = 101435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748958587646484 × 217)
    floor (0.748958587646484 × 131072)
    floor (98167.5)     		ty = 98167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101435 / 98167 ti = "17/101435/98167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101435/98167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101435 ÷ 217
    101435 ÷ 131072     		x = 0.773887634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98167 ÷ 217
    98167 ÷ 131072     		y = 0.748954772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773887634277344 × 2 - 1) × π
    0.547775268554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.72088676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748954772949219 × 2 - 1) × π
    -0.497909545898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.56422897150205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72088676} λ = 1.72088676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56422897150205))-π/2
    2×atan(0.209249288155833)-π/2
    2×0.206273081986856-π/2
    0.412546163973712-1.57079632675     		φ = -1.15825016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72088676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.599548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15825016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.362846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101435 KachelY 98167 1.72088676 -1.15825016 98.599548 -66.362846
    Oben rechts KachelX + 1 101436 KachelY 98167 1.72093470 -1.15825016 98.602295 -66.362846
    Unten links KachelX 101435 KachelY + 1 98168 1.72088676 -1.15826938 98.599548 -66.363947
    Unten rechts KachelX + 1 101436 KachelY + 1 98168 1.72093470 -1.15826938 98.602295 -66.363947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15825016--1.15826938) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dl = 122.450619999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15825016--1.15826938) × R
    1.92199999999865e-05 × 6371000     		dr = 122.450619999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72088676-1.72093470) × cos(-1.15825016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400943175962747 × 6371000     		do = 122.458366216292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72088676-1.72093470) × cos(-1.15826938) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400925568390469 × 6371000     		du = 122.452988410499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15825016)-sin(-1.15826938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400943175962747-0.400925568390469)×R²
    abs(1.72093470-1.72088676)×1.76075722780888e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76075722780888e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76075722780888e-05×40589641000000     		ar = 14994.7736099052m²