Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101432 / 97828
↖ ↑ ↗
← S 65.986741°
E 98.591309°		 ← 124.29 m → S 65.986741°
E 98.594055°		 →
↑
124.30 m
↓
↑
124.30 m
↓
S 65.987859°
E 98.591309°		 ← 124.29 m →
15 449 m²		 S 65.987859°
E 98.594055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773868560791016 y=0.746372222900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773868560791016 × 217)
    floor (0.773868560791016 × 131072)
    floor (101432.5)     		tx = 101432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746372222900391 × 217)
    floor (0.746372222900391 × 131072)
    floor (97828.5)     		ty = 97828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101432 / 97828 ti = "17/101432/97828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101432/97828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101432 ÷ 217
    101432 ÷ 131072     		x = 0.77386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97828 ÷ 217
    97828 ÷ 131072     		y = 0.746368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77386474609375 × 2 - 1) × π
    0.5477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72074295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.49273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54797836253085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72074295} λ = 1.72074295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54797836253085))-π/2
    2×atan(0.212677496306462)-π/2
    2×0.20955521435526-π/2
    0.419110428710521-1.57079632675     		φ = -1.15168590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72074295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.591309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15168590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.986741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101432 KachelY 97828 1.72074295 -1.15168590 98.591309 -65.986741
    Oben rechts KachelX + 1 101433 KachelY 97828 1.72079089 -1.15168590 98.594055 -65.986741
    Unten links KachelX 101432 KachelY + 1 97829 1.72074295 -1.15170541 98.591309 -65.987859
    Unten rechts KachelX + 1 101433 KachelY + 1 97829 1.72079089 -1.15170541 98.594055 -65.987859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15168590--1.15170541) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dl = 124.298210000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15168590--1.15170541) × R
    1.95100000000004e-05 × 6371000     		dr = 124.298210000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72074295-1.72079089) × cos(-1.15168590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406948032372854 × 6371000     		do = 124.292403928941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72074295-1.72079089) × cos(-1.15170541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406930210860312 × 6371000     		du = 124.286960780285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15168590)-sin(-1.15170541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406948032372854-0.406930210860312)×R²
    abs(1.72079089-1.72074295)×1.78215125415937e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78215125415937e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78215125415937e-05×40589641000000     		ar = 15448.985038568m²