Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101431 / 98383
↖ ↑ ↗
← S 66.599585°
E 98.588562°		 ← 121.30 m → S 66.599585°
E 98.591309°		 →
↑
121.30 m
↓
↑
121.30 m
↓
S 66.600676°
E 98.588562°		 ← 121.30 m →
14 714 m²		 S 66.600676°
E 98.591309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773860931396484 y=0.750606536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773860931396484 × 217)
    floor (0.773860931396484 × 131072)
    floor (101431.5)     		tx = 101431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750606536865234 × 217)
    floor (0.750606536865234 × 131072)
    floor (98383.5)     		ty = 98383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101431 / 98383 ti = "17/101431/98383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101431/98383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101431 ÷ 217
    101431 ÷ 131072     		x = 0.773857116699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98383 ÷ 217
    98383 ÷ 131072     		y = 0.750602722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773857116699219 × 2 - 1) × π
    0.547714233398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.72069501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750602722167969 × 2 - 1) × π
    -0.501205444335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.57458334181998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72069501} λ = 1.72069501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57458334181998))-π/2
    2×atan(0.207093822042472)-π/2
    2×0.204207144749492-π/2
    0.408414289498983-1.57079632675     		φ = -1.16238204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72069501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.588562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16238204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.599585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101431 KachelY 98383 1.72069501 -1.16238204 98.588562 -66.599585
    Oben rechts KachelX + 1 101432 KachelY 98383 1.72074295 -1.16238204 98.591309 -66.599585
    Unten links KachelX 101431 KachelY + 1 98384 1.72069501 -1.16240108 98.588562 -66.600676
    Unten rechts KachelX + 1 101432 KachelY + 1 98384 1.72074295 -1.16240108 98.591309 -66.600676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16238204--1.16240108) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dl = 121.30383999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16238204--1.16240108) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dr = 121.30383999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72069501-1.72074295) × cos(-1.16238204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397154536845717 × 6371000     		do = 121.301218310381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72069501-1.72074295) × cos(-1.16240108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397137062780417 × 6371000     		du = 121.295881281056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16238204)-sin(-1.16240108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397154536845717-0.397137062780417)×R²
    abs(1.72074295-1.72069501)×1.74740652995609e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74740652995609e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74740652995609e-05×40589641000000     		ar = 14713.9798770883m²