Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101430 / 98086
↖ ↑ ↗
← S 66.273488°
E 98.585815°		 ← 122.89 m → S 66.273488°
E 98.588562°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
S 66.274593°
E 98.585815°		 ← 122.89 m →
15 103 m²		 S 66.274593°
E 98.588562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773853302001953 y=0.748340606689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773853302001953 × 217)
    floor (0.773853302001953 × 131072)
    floor (101430.5)     		tx = 101430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748340606689453 × 217)
    floor (0.748340606689453 × 131072)
    floor (98086.5)     		ty = 98086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101430 / 98086 ti = "17/101430/98086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101430/98086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101430 ÷ 217
    101430 ÷ 131072     		x = 0.773849487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98086 ÷ 217
    98086 ÷ 131072     		y = 0.748336791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773849487304688 × 2 - 1) × π
    0.547698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72064707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748336791992188 × 2 - 1) × π
    -0.496673583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56034608263283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72064707} λ = 1.72064707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56034608263283))-π/2
    2×atan(0.210063359338874)-π/2
    2×0.207052876655783-π/2
    0.414105753311566-1.57079632675     		φ = -1.15669057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72064707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.585815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15669057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.273488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101430 KachelY 98086 1.72064707 -1.15669057 98.585815 -66.273488
    Oben rechts KachelX + 1 101431 KachelY 98086 1.72069501 -1.15669057 98.588562 -66.273488
    Unten links KachelX 101430 KachelY + 1 98087 1.72064707 -1.15670986 98.585815 -66.274593
    Unten rechts KachelX + 1 101431 KachelY + 1 98087 1.72069501 -1.15670986 98.588562 -66.274593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15669057--1.15670986) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15669057--1.15670986) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72064707-1.72069501) × cos(-1.15669057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402371432733593 × 6371000     		do = 122.894592597437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72064707-1.72069501) × cos(-1.15670986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402353773116962 × 6371000     		du = 122.88919889596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15669057)-sin(-1.15670986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402371432733593-0.402353773116962)×R²
    abs(1.72069501-1.72064707)×1.76596166309162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76596166309162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76596166309162e-05×40589641000000     		ar = 15102.9949264083m²