Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101429 / 98375
↖ ↑ ↗
← S 66.590857°
E 98.583069°		 ← 121.32 m → S 66.590857°
E 98.585815°		 →
↑
121.37 m
↓
↑
121.37 m
↓
S 66.591948°
E 98.583069°		 ← 121.31 m →
14 724 m²		 S 66.591948°
E 98.585815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773845672607422 y=0.750545501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773845672607422 × 217)
    floor (0.773845672607422 × 131072)
    floor (101429.5)     		tx = 101429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750545501708984 × 217)
    floor (0.750545501708984 × 131072)
    floor (98375.5)     		ty = 98375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101429 / 98375 ti = "17/101429/98375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101429/98375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101429 ÷ 217
    101429 ÷ 131072     		x = 0.773841857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98375 ÷ 217
    98375 ÷ 131072     		y = 0.750541687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773841857910156 × 2 - 1) × π
    0.547683715820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72059914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750541687011719 × 2 - 1) × π
    -0.501083374023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.57419984662302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72059914} λ = 1.72059914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57419984662302))-π/2
    2×atan(0.207173256758988)-π/2
    2×0.20428331158114-π/2
    0.408566623162279-1.57079632675     		φ = -1.16222970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72059914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.583069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16222970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.590857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101429 KachelY 98375 1.72059914 -1.16222970 98.583069 -66.590857
    Oben rechts KachelX + 1 101430 KachelY 98375 1.72064707 -1.16222970 98.585815 -66.590857
    Unten links KachelX 101429 KachelY + 1 98376 1.72059914 -1.16224875 98.583069 -66.591948
    Unten rechts KachelX + 1 101430 KachelY + 1 98376 1.72064707 -1.16224875 98.585815 -66.591948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16222970--1.16224875) × R
    1.90500000001315e-05 × 6371000     		dl = 121.367550000838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16222970--1.16224875) × R
    1.90500000001315e-05 × 6371000     		dr = 121.367550000838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72059914-1.72064707) × cos(-1.16222970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397294342538231 × 6371000     		do = 121.318606945064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72059914-1.72064707) × cos(-1.16224875) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397276860448088 × 6371000     		du = 121.313268578529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16222970)-sin(-1.16224875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397294342538231-0.397276860448088)×R²
    abs(1.72064707-1.72059914)×1.74820901422956e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.74820901422956e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.74820901422956e-05×40589641000000     		ar = 14723.8181428002m²