Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101428 / 98205
↖ ↑ ↗
← S 66.404657°
E 98.580322°		 ← 122.25 m → S 66.404657°
E 98.583069°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
S 66.405757°
E 98.580322°		 ← 122.25 m →
14 946 m²		 S 66.405757°
E 98.583069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773838043212891 y=0.749248504638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773838043212891 × 217)
    floor (0.773838043212891 × 131072)
    floor (101428.5)     		tx = 101428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749248504638672 × 217)
    floor (0.749248504638672 × 131072)
    floor (98205.5)     		ty = 98205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101428 / 98205 ti = "17/101428/98205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101428/98205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101428 ÷ 217
    101428 ÷ 131072     		x = 0.773834228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98205 ÷ 217
    98205 ÷ 131072     		y = 0.749244689941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773834228515625 × 2 - 1) × π
    0.54766845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72055120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749244689941406 × 2 - 1) × π
    -0.498489379882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.56605057368761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72055120} λ = 1.72055120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56605057368761))-π/2
    2×atan(0.208868466153601)-π/2
    2×0.205908207070587-π/2
    0.411816414141175-1.57079632675     		φ = -1.15897991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72055120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15897991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.404657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101428 KachelY 98205 1.72055120 -1.15897991 98.580322 -66.404657
    Oben rechts KachelX + 1 101429 KachelY 98205 1.72059914 -1.15897991 98.583069 -66.404657
    Unten links KachelX 101428 KachelY + 1 98206 1.72055120 -1.15899910 98.580322 -66.405757
    Unten rechts KachelX + 1 101429 KachelY + 1 98206 1.72059914 -1.15899910 98.583069 -66.405757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15897991--1.15899910) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dl = 122.259489999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15897991--1.15899910) × R
    1.91899999999467e-05 × 6371000     		dr = 122.259489999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72055120-1.72059914) × cos(-1.15897991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400274543154238 × 6371000     		do = 122.254148545965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72055120-1.72059914) × cos(-1.15899910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400256957455314 × 6371000     		du = 122.248777420858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15897991)-sin(-1.15899910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400274543154238-0.400256957455314)×R²
    abs(1.72059914-1.72055120)×1.75856989238499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75856989238499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75856989238499e-05×40589641000000     		ar = 14946.4015165557m²