Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101427 / 98372
↖ ↑ ↗
← S 66.587583°
E 98.577575°		 ← 121.36 m → S 66.587583°
E 98.580322°		 →
↑
121.37 m
↓
↑
121.37 m
↓
S 66.588674°
E 98.577575°		 ← 121.35 m →
14 729 m²		 S 66.588674°
E 98.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773830413818359 y=0.750522613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773830413818359 × 217)
    floor (0.773830413818359 × 131072)
    floor (101427.5)     		tx = 101427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750522613525391 × 217)
    floor (0.750522613525391 × 131072)
    floor (98372.5)     		ty = 98372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101427 / 98372 ti = "17/101427/98372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101427/98372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101427 ÷ 217
    101427 ÷ 131072     		x = 0.773826599121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98372 ÷ 217
    98372 ÷ 131072     		y = 0.750518798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773826599121094 × 2 - 1) × π
    0.547653198242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.72050326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750518798828125 × 2 - 1) × π
    -0.50103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57405603592416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72050326} λ = 1.72050326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57405603592416))-π/2
    2×atan(0.207203052632259)-π/2
    2×0.204311881054581-π/2
    0.408623762109162-1.57079632675     		φ = -1.16217256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72050326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.577575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16217256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.587583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101427 KachelY 98372 1.72050326 -1.16217256 98.577575 -66.587583
    Oben rechts KachelX + 1 101428 KachelY 98372 1.72055120 -1.16217256 98.580322 -66.587583
    Unten links KachelX 101427 KachelY + 1 98373 1.72050326 -1.16219161 98.577575 -66.588674
    Unten rechts KachelX + 1 101428 KachelY + 1 98373 1.72055120 -1.16219161 98.580322 -66.588674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16217256--1.16219161) × R
    1.90500000001315e-05 × 6371000     		dl = 121.367550000838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16217256--1.16219161) × R
    1.90500000001315e-05 × 6371000     		dr = 121.367550000838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72050326-1.72055120) × cos(-1.16217256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397346778766872 × 6371000     		do = 121.359933941409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72050326-1.72055120) × cos(-1.16219161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39732929710921 × 6371000     		du = 121.354594593181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16217256)-sin(-1.16219161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397346778766872-0.39732929710921)×R²
    abs(1.72055120-1.72050326)×1.74816576616332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74816576616332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74816576616332e-05×40589641000000     		ar = 14728.8338393254m²