Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101423 / 98229
↖ ↑ ↗
← S 66.431029°
E 98.566590°		 ← 122.10 m → S 66.431029°
E 98.569336°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
S 66.432127°
E 98.566590°		 ← 122.09 m →
14 912 m²		 S 66.432127°
E 98.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773799896240234 y=0.749431610107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773799896240234 × 217)
    floor (0.773799896240234 × 131072)
    floor (101423.5)     		tx = 101423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749431610107422 × 217)
    floor (0.749431610107422 × 131072)
    floor (98229.5)     		ty = 98229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101423 / 98229 ti = "17/101423/98229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101423/98229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101423 ÷ 217
    101423 ÷ 131072     		x = 0.773796081542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98229 ÷ 217
    98229 ÷ 131072     		y = 0.749427795410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773796081542969 × 2 - 1) × π
    0.547592163085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.72031152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749427795410156 × 2 - 1) × π
    -0.498855590820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.5672010592785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72031152} λ = 1.72031152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5672010592785))-π/2
    2×atan(0.208628304170843)-π/2
    2×0.205678073369217-π/2
    0.411356146738434-1.57079632675     		φ = -1.15944018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72031152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.566590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15944018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.431029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101423 KachelY 98229 1.72031152 -1.15944018 98.566590 -66.431029
    Oben rechts KachelX + 1 101424 KachelY 98229 1.72035945 -1.15944018 98.569336 -66.431029
    Unten links KachelX 101423 KachelY + 1 98230 1.72031152 -1.15945935 98.566590 -66.432127
    Unten rechts KachelX + 1 101424 KachelY + 1 98230 1.72035945 -1.15945935 98.569336 -66.432127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15944018--1.15945935) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dl = 122.132070000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15944018--1.15945935) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dr = 122.132070000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72031152-1.72035945) × cos(-1.15944018) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.399852711519628 × 6371000     		do = 122.099835690147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72031152-1.72035945) × cos(-1.15945935) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.399835140618928 × 6371000     		du = 122.094470204241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15944018)-sin(-1.15945935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399852711519628-0.399835140618928)×R²
    abs(1.72035945-1.72031152)×1.75709006993152e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.75709006993152e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.75709006993152e-05×40589641000000     		ar = 14911.9780308999m²