Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101422 / 97170
↖ ↑ ↗
← S 65.240607°
E 98.563843°		 ← 127.91 m → S 65.240607°
E 98.566590°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
S 65.241758°
E 98.563843°		 ← 127.91 m →
16 364 m²		 S 65.241758°
E 98.566590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773792266845703 y=0.741352081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773792266845703 × 217)
    floor (0.773792266845703 × 131072)
    floor (101422.5)     		tx = 101422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741352081298828 × 217)
    floor (0.741352081298828 × 131072)
    floor (97170.5)     		ty = 97170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101422 / 97170 ti = "17/101422/97170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101422/97170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101422 ÷ 217
    101422 ÷ 131072     		x = 0.773788452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97170 ÷ 217
    97170 ÷ 131072     		y = 0.741348266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773788452148438 × 2 - 1) × π
    0.547576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72026358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741348266601562 × 2 - 1) × π
    -0.482696533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51643588258086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72026358} λ = 1.72026358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51643588258086))-π/2
    2×atan(0.219492792591321)-π/2
    2×0.216066461634747-π/2
    0.432132923269495-1.57079632675     		φ = -1.13866340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72026358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.563843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13866340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.240607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101422 KachelY 97170 1.72026358 -1.13866340 98.563843 -65.240607
    Oben rechts KachelX + 1 101423 KachelY 97170 1.72031152 -1.13866340 98.566590 -65.240607
    Unten links KachelX 101422 KachelY + 1 97171 1.72026358 -1.13868348 98.563843 -65.241758
    Unten rechts KachelX + 1 101423 KachelY + 1 97171 1.72031152 -1.13868348 98.566590 -65.241758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13866340--1.13868348) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dl = 127.929680000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13866340--1.13868348) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dr = 127.929680000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72026358-1.72031152) × cos(-1.13866340) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.418808610111512 × 6371000     		do = 127.914929662189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72026358-1.72031152) × cos(-1.13868348) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.418790375890561 × 6371000     		du = 127.909360461761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13866340)-sin(-1.13868348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418808610111512-0.418790375890561)×R²
    abs(1.72031152-1.72026358)×1.82342209508746e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.82342209508746e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.82342209508746e-05×40589641000000     		ar = 16363.7597864545m²