Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101419 / 97831
↖ ↑ ↗
← S 65.990094°
E 98.555603°		 ← 124.28 m → S 65.990094°
E 98.558350°		 →
↑
124.23 m
↓
↑
124.23 m
↓
S 65.991212°
E 98.555603°		 ← 124.27 m →
15 439 m²		 S 65.991212°
E 98.558350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773769378662109 y=0.746395111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773769378662109 × 217)
    floor (0.773769378662109 × 131072)
    floor (101419.5)     		tx = 101419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746395111083984 × 217)
    floor (0.746395111083984 × 131072)
    floor (97831.5)     		ty = 97831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101419 / 97831 ti = "17/101419/97831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101419/97831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101419 ÷ 217
    101419 ÷ 131072     		x = 0.773765563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97831 ÷ 217
    97831 ÷ 131072     		y = 0.746391296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773765563964844 × 2 - 1) × π
    0.547531127929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.72011977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746391296386719 × 2 - 1) × π
    -0.492782592773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.54812217322971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72011977} λ = 1.72011977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54812217322971))-π/2
    2×atan(0.212646913206228)-π/2
    2×0.20952595453657-π/2
    0.41905190907314-1.57079632675     		φ = -1.15174442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72011977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.555603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15174442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.990094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101419 KachelY 97831 1.72011977 -1.15174442 98.555603 -65.990094
    Oben rechts KachelX + 1 101420 KachelY 97831 1.72016771 -1.15174442 98.558350 -65.990094
    Unten links KachelX 101419 KachelY + 1 97832 1.72011977 -1.15176392 98.555603 -65.991212
    Unten rechts KachelX + 1 101420 KachelY + 1 97832 1.72016771 -1.15176392 98.558350 -65.991212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15174442--1.15176392) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dl = 124.234500000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15174442--1.15176392) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dr = 124.234500000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72011977-1.72016771) × cos(-1.15174442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406894576505305 × 6371000     		do = 124.276077131038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72011977-1.72016771) × cos(-1.15176392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406876763663012 × 6371000     		du = 124.270636630499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15174442)-sin(-1.15176392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406894576505305-0.406876763663012)×R²
    abs(1.72016771-1.72011977)×1.78128422931856e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78128422931856e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78128422931856e-05×40589641000000     		ar = 15439.0383558871m²