Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101418 / 97117
↖ ↑ ↗
← S 65.179572°
E 98.552856°		 ← 128.21 m → S 65.179572°
E 98.555603°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.180724°
E 98.552856°		 ← 128.20 m →
16 434 m²		 S 65.180724°
E 98.555603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773761749267578 y=0.740947723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773761749267578 × 217)
    floor (0.773761749267578 × 131072)
    floor (101418.5)     		tx = 101418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740947723388672 × 217)
    floor (0.740947723388672 × 131072)
    floor (97117.5)     		ty = 97117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101418 / 97117 ti = "17/101418/97117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101418/97117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101418 ÷ 217
    101418 ÷ 131072     		x = 0.773757934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97117 ÷ 217
    97117 ÷ 131072     		y = 0.740943908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773757934570312 × 2 - 1) × π
    0.547515869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72007183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740943908691406 × 2 - 1) × π
    -0.481887817382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.51389522690099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72007183} λ = 1.72007183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51389522690099))-π/2
    2×atan(0.220051157207274)-π/2
    2×0.216599099957075-π/2
    0.43319819991415-1.57079632675     		φ = -1.13759813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72007183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.552856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13759813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.179572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101418 KachelY 97117 1.72007183 -1.13759813 98.552856 -65.179572
    Oben rechts KachelX + 1 101419 KachelY 97117 1.72011977 -1.13759813 98.555603 -65.179572
    Unten links KachelX 101418 KachelY + 1 97118 1.72007183 -1.13761825 98.552856 -65.180724
    Unten rechts KachelX + 1 101419 KachelY + 1 97118 1.72011977 -1.13761825 98.555603 -65.180724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13759813--1.13761825) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13759813--1.13761825) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72007183-1.72011977) × cos(-1.13759813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419775716848799 × 6371000     		do = 128.210308952491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72007183-1.72011977) × cos(-1.13761825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419757455291122 × 6371000     		du = 128.204731402724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13759813)-sin(-1.13761825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419775716848799-0.419757455291122)×R²
    abs(1.72011977-1.72007183)×1.82615576772016e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82615576772016e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82615576772016e-05×40589641000000     		ar = 16434.2194349972m²