Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101407 / 97163
↖ ↑ ↗
← S 65.232554°
E 98.522644°		 ← 127.93 m → S 65.232554°
E 98.525390°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
S 65.233705°
E 98.522644°		 ← 127.92 m →
16 365 m²		 S 65.233705°
E 98.525390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773677825927734 y=0.741298675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773677825927734 × 217)
    floor (0.773677825927734 × 131072)
    floor (101407.5)     		tx = 101407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741298675537109 × 217)
    floor (0.741298675537109 × 131072)
    floor (97163.5)     		ty = 97163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101407 / 97163 ti = "17/101407/97163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101407/97163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101407 ÷ 217
    101407 ÷ 131072     		x = 0.773674011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97163 ÷ 217
    97163 ÷ 131072     		y = 0.741294860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773674011230469 × 2 - 1) × π
    0.547348022460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71954453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741294860839844 × 2 - 1) × π
    -0.482589721679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.51610032428352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71954453} λ = 1.71954453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51610032428352))-π/2
    2×atan(0.219566457577839)-π/2
    2×0.216136739692777-π/2
    0.432273479385554-1.57079632675     		φ = -1.13852285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71954453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.522644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13852285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.232554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101407 KachelY 97163 1.71954453 -1.13852285 98.522644 -65.232554
    Oben rechts KachelX + 1 101408 KachelY 97163 1.71959246 -1.13852285 98.525390 -65.232554
    Unten links KachelX 101407 KachelY + 1 97164 1.71954453 -1.13854293 98.522644 -65.233705
    Unten rechts KachelX + 1 101408 KachelY + 1 97164 1.71959246 -1.13854293 98.525390 -65.233705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13852285--1.13854293) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dl = 127.929680000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13852285--1.13854293) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dr = 127.929680000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71954453-1.71959246) × cos(-1.13852285) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418936235849343 × 6371000     		do = 127.927219419592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71954453-1.71959246) × cos(-1.13854293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418918002810526 × 6371000     		du = 127.921651741846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13852285)-sin(-1.13854293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418936235849343-0.418918002810526)×R²
    abs(1.71959246-1.71954453)×1.82330388163732e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82330388163732e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82330388163732e-05×40589641000000     		ar = 16365.3321085946m²