Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101405 / 97461
↖ ↑ ↗
← S 65.573229°
E 98.517151°		 ← 126.30 m → S 65.573229°
E 98.519897°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
S 65.574365°
E 98.517151°		 ← 126.30 m →
15 956 m²		 S 65.574365°
E 98.519897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773662567138672 y=0.743572235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773662567138672 × 217)
    floor (0.773662567138672 × 131072)
    floor (101405.5)     		tx = 101405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743572235107422 × 217)
    floor (0.743572235107422 × 131072)
    floor (97461.5)     		ty = 97461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101405 / 97461 ti = "17/101405/97461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101405/97461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101405 ÷ 217
    101405 ÷ 131072     		x = 0.773658752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97461 ÷ 217
    97461 ÷ 131072     		y = 0.743568420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773658752441406 × 2 - 1) × π
    0.547317504882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71944865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743568420410156 × 2 - 1) × π
    -0.487136840820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.53038552037029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71944865} λ = 1.71944865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53038552037029))-π/2
    2×atan(0.216452204494704)-π/2
    2×0.213163787262848-π/2
    0.426327574525695-1.57079632675     		φ = -1.14446875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71944865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.517151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14446875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.573229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101405 KachelY 97461 1.71944865 -1.14446875 98.517151 -65.573229
    Oben rechts KachelX + 1 101406 KachelY 97461 1.71949659 -1.14446875 98.519897 -65.573229
    Unten links KachelX 101405 KachelY + 1 97462 1.71944865 -1.14448858 98.517151 -65.574365
    Unten rechts KachelX + 1 101406 KachelY + 1 97462 1.71949659 -1.14448858 98.519897 -65.574365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14446875--1.14448858) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14446875--1.14448858) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71944865-1.71949659) × cos(-1.14446875) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.413529891919852 × 6371000     		do = 126.302673252243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71944865-1.71949659) × cos(-1.14448858) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.413511836811084 × 6371000     		du = 126.297158757287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14446875)-sin(-1.14448858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413529891919852-0.413511836811084)×R²
    abs(1.71949659-1.71944865)×1.80551087681224e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80551087681224e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80551087681224e-05×40589641000000     		ar = 15956.3436479429m²