Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101405 / 97158
↖ ↑ ↗
← S 65.226800°
E 98.517151°		 ← 127.98 m → S 65.226800°
E 98.519897°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
S 65.227951°
E 98.517151°		 ← 127.98 m →
16 380 m²		 S 65.227951°
E 98.519897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773662567138672 y=0.741260528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773662567138672 × 217)
    floor (0.773662567138672 × 131072)
    floor (101405.5)     		tx = 101405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741260528564453 × 217)
    floor (0.741260528564453 × 131072)
    floor (97158.5)     		ty = 97158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101405 / 97158 ti = "17/101405/97158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101405/97158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101405 ÷ 217
    101405 ÷ 131072     		x = 0.773658752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97158 ÷ 217
    97158 ÷ 131072     		y = 0.741256713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773658752441406 × 2 - 1) × π
    0.547317504882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71944865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741256713867188 × 2 - 1) × π
    -0.482513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51586063978542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71944865} λ = 1.71944865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51586063978542))-π/2
    2×atan(0.219619090561427)-π/2
    2×0.216186951417461-π/2
    0.432373902834921-1.57079632675     		φ = -1.13842242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71944865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.517151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13842242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.226800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101405 KachelY 97158 1.71944865 -1.13842242 98.517151 -65.226800
    Oben rechts KachelX + 1 101406 KachelY 97158 1.71949659 -1.13842242 98.519897 -65.226800
    Unten links KachelX 101405 KachelY + 1 97159 1.71944865 -1.13844251 98.517151 -65.227951
    Unten rechts KachelX + 1 101406 KachelY + 1 97159 1.71949659 -1.13844251 98.519897 -65.227951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13842242--1.13844251) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13842242--1.13844251) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71944865-1.71949659) × cos(-1.13842242) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.419027425748718 × 6371000     		do = 127.981761590106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71944865-1.71949659) × cos(-1.13844251) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.419009184474997 × 6371000     		du = 127.976190235581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13842242)-sin(-1.13844251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419027425748718-0.419009184474997)×R²
    abs(1.71949659-1.71944865)×1.82412737215198e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.82412737215198e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.82412737215198e-05×40589641000000     		ar = 16380.4629763696m²