Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101404 / 97156
↖ ↑ ↗
← S 65.224498°
E 98.514405°		 ← 127.97 m → S 65.224498°
E 98.517151°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
S 65.225649°
E 98.514405°		 ← 127.96 m →
16 378 m²		 S 65.225649°
E 98.517151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773654937744141 y=0.741245269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773654937744141 × 217)
    floor (0.773654937744141 × 131072)
    floor (101404.5)     		tx = 101404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741245269775391 × 217)
    floor (0.741245269775391 × 131072)
    floor (97156.5)     		ty = 97156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101404 / 97156 ti = "17/101404/97156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101404/97156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101404 ÷ 217
    101404 ÷ 131072     		x = 0.773651123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97156 ÷ 217
    97156 ÷ 131072     		y = 0.741241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773651123046875 × 2 - 1) × π
    0.54730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71940072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.48248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51576476598618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71940072} λ = 1.71940072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51576476598618))-π/2
    2×atan(0.219640147287402)-π/2
    2×0.216207039167245-π/2
    0.432414078334489-1.57079632675     		φ = -1.13838225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71940072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.514405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13838225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.224498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101404 KachelY 97156 1.71940072 -1.13838225 98.514405 -65.224498
    Oben rechts KachelX + 1 101405 KachelY 97156 1.71944865 -1.13838225 98.517151 -65.224498
    Unten links KachelX 101404 KachelY + 1 97157 1.71940072 -1.13840234 98.514405 -65.225649
    Unten rechts KachelX + 1 101405 KachelY + 1 97157 1.71944865 -1.13840234 98.517151 -65.225649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13838225--1.13840234) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13838225--1.13840234) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71940072-1.71944865) × cos(-1.13838225) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.419063898709218 × 6371000     		do = 127.966202809047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71940072-1.71944865) × cos(-1.13840234) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.419045657773665 × 6371000     		du = 127.960632719937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13838225)-sin(-1.13840234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419063898709218-0.419045657773665)×R²
    abs(1.71944865-1.71940072)×1.82409355525825e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.82409355525825e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.82409355525825e-05×40589641000000     		ar = 16378.4716362675m²