Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1014 / 1081
↖ ↑ ↗
← S  9.968851°
W  1.757813°		 ← 19.251 km → S  9.968851°
W  1.582031°		 →
↑
19.246 km
↓
↑
19.246 km
↓
S 10.141932°
W  1.757813°		 ← 19.241 km →
370.399 km²		 S 10.141932°
W  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495361328125 y=0.528076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495361328125 × 211)
    floor (0.495361328125 × 2048)
    floor (1014.5)     		tx = 1014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528076171875 × 211)
    floor (0.528076171875 × 2048)
    floor (1081.5)     		ty = 1081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1014 / 1081 ti = "11/1014/1081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1014/1081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1014 ÷ 211
    1014 ÷ 2048     		x = 0.4951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1081 ÷ 211
    1081 ÷ 2048     		y = 0.52783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4951171875 × 2 - 1) × π
    -0.009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.03067962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52783203125 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.174873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03067962} λ = -0.03067962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174873809813965))-π/2
    2×atan(0.839562958690849)-π/2
    2×0.698403530520625-π/2
    1.39680706104125-1.57079632675     		φ = -0.17398927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03067962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17398927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.968851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1014 KachelY 1081 -0.03067962 -0.17398927 -1.757813 -9.968851
    Oben rechts KachelX + 1 1015 KachelY 1081 -0.02761165 -0.17398927 -1.582031 -9.968851
    Unten links KachelX 1014 KachelY + 1 1082 -0.03067962 -0.17701010 -1.757813 -10.141932
    Unten rechts KachelX + 1 1015 KachelY + 1 1082 -0.02761165 -0.17701010 -1.582031 -10.141932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17398927--0.17701010) × R
    0.00302083 × 6371000     		dl = 19245.70793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17398927--0.17701010) × R
    0.00302083 × 6371000     		dr = 19245.70793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03067962--0.02761165) × cos(-0.17398927) × R
    0.00306797 × 0.984902012206852 × 6371000     		do = 19250.9310439323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03067962--0.02761165) × cos(-0.17701010) × R
    0.00306797 × 0.984374574979126 × 6371000     		du = 19240.6217364326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17398927)-sin(-0.17701010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984902012206852-0.984374574979126)×R²
    abs(-0.02761165--0.03067962)×0.000527437227726191×R²
    0.00306797×0.000527437227726191×6371000²
    0.00306797×0.000527437227726191×40589641000000     		ar = 370398872.961835m²