Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101397 / 97868
↖ ↑ ↗
← S 66.031411°
E 98.495178°		 ← 124.05 m → S 66.031411°
E 98.497925°		 →
↑
124.04 m
↓
↑
124.04 m
↓
S 66.032526°
E 98.495178°		 ← 124.04 m →
15 387 m²		 S 66.032526°
E 98.497925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773601531982422 y=0.746677398681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773601531982422 × 217)
    floor (0.773601531982422 × 131072)
    floor (101397.5)     		tx = 101397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746677398681641 × 217)
    floor (0.746677398681641 × 131072)
    floor (97868.5)     		ty = 97868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101397 / 97868 ti = "17/101397/97868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101397/97868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101397 ÷ 217
    101397 ÷ 131072     		x = 0.773597717285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97868 ÷ 217
    97868 ÷ 131072     		y = 0.746673583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773597717285156 × 2 - 1) × π
    0.547195434570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71906516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.49334716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54989583851566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71906516} λ = 1.71906516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54989583851566))-π/2
    2×atan(0.21227008304219)-π/2
    2×0.209165399337798-π/2
    0.418330798675596-1.57079632675     		φ = -1.15246553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71906516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.495178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15246553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.031411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101397 KachelY 97868 1.71906516 -1.15246553 98.495178 -66.031411
    Oben rechts KachelX + 1 101398 KachelY 97868 1.71911309 -1.15246553 98.497925 -66.031411
    Unten links KachelX 101397 KachelY + 1 97869 1.71906516 -1.15248500 98.495178 -66.032526
    Unten rechts KachelX + 1 101398 KachelY + 1 97869 1.71911309 -1.15248500 98.497925 -66.032526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15246553--1.15248500) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dl = 124.043370000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15246553--1.15248500) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dr = 124.043370000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71906516-1.71911309) × cos(-1.15246553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406235754722646 × 6371000     		do = 124.048974720765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71906516-1.71911309) × cos(-1.15248500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40621796357679 × 6371000     		du = 124.04354198035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15246553)-sin(-1.15248500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406235754722646-0.40621796357679)×R²
    abs(1.71911309-1.71906516)×1.77911458565938e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77911458565938e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77911458565938e-05×40589641000000     		ar = 15387.1159220398m²