Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101394 / 97870
↖ ↑ ↗
← S 66.033642°
E 98.486939°		 ← 124.04 m → S 66.033642°
E 98.489685°		 →
↑
124.11 m
↓
↑
124.11 m
↓
S 66.034758°
E 98.486939°		 ← 124.03 m →
15 394 m²		 S 66.034758°
E 98.489685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773578643798828 y=0.746692657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773578643798828 × 217)
    floor (0.773578643798828 × 131072)
    floor (101394.5)     		tx = 101394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746692657470703 × 217)
    floor (0.746692657470703 × 131072)
    floor (97870.5)     		ty = 97870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101394 / 97870 ti = "17/101394/97870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101394/97870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101394 ÷ 217
    101394 ÷ 131072     		x = 0.773574829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97870 ÷ 217
    97870 ÷ 131072     		y = 0.746688842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773574829101562 × 2 - 1) × π
    0.547149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.71892135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746688842773438 × 2 - 1) × π
    -0.493377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5499917123149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71892135} λ = 1.71892135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5499917123149))-π/2
    2×atan(0.212249732878403)-π/2
    2×0.209145926508109-π/2
    0.418291853016219-1.57079632675     		φ = -1.15250447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71892135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.486939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15250447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.033642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101394 KachelY 97870 1.71892135 -1.15250447 98.486939 -66.033642
    Oben rechts KachelX + 1 101395 KachelY 97870 1.71896928 -1.15250447 98.489685 -66.033642
    Unten links KachelX 101394 KachelY + 1 97871 1.71892135 -1.15252395 98.486939 -66.034758
    Unten rechts KachelX + 1 101395 KachelY + 1 97871 1.71896928 -1.15252395 98.489685 -66.034758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15250447--1.15252395) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dl = 124.107079999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15250447--1.15252395) × R
    1.94799999999606e-05 × 6371000     		dr = 124.107079999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71892135-1.71896928) × cos(-1.15250447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406200172276943 × 6371000     		do = 124.038109192913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71892135-1.71896928) × cos(-1.15252395) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.406182371685194 × 6371000     		du = 124.032673568081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15250447)-sin(-1.15252395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406200172276943-0.406182371685194)×R²
    abs(1.71896928-1.71892135)×1.78005917490509e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78005917490509e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78005917490509e-05×40589641000000     		ar = 15393.6702413609m²