Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101393 / 97872
↖ ↑ ↗
← S 66.035874°
E 98.484192°		 ← 124.05 m → S 66.035874°
E 98.486939°		 →
↑
124.04 m
↓
↑
124.04 m
↓
S 66.036989°
E 98.484192°		 ← 124.05 m →
15 388 m²		 S 66.036989°
E 98.486939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773571014404297 y=0.746707916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773571014404297 × 217)
    floor (0.773571014404297 × 131072)
    floor (101393.5)     		tx = 101393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746707916259766 × 217)
    floor (0.746707916259766 × 131072)
    floor (97872.5)     		ty = 97872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101393 / 97872 ti = "17/101393/97872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101393/97872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101393 ÷ 217
    101393 ÷ 131072     		x = 0.773567199707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97872 ÷ 217
    97872 ÷ 131072     		y = 0.7467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773567199707031 × 2 - 1) × π
    0.547134399414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71887341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.493408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55008758611414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71887341} λ = 1.71887341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55008758611414))-π/2
    2×atan(0.21222938466557)-π/2
    2×0.209126455384321-π/2
    0.418252910768642-1.57079632675     		φ = -1.15254342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71887341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.484192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15254342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.035874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101393 KachelY 97872 1.71887341 -1.15254342 98.484192 -66.035874
    Oben rechts KachelX + 1 101394 KachelY 97872 1.71892135 -1.15254342 98.486939 -66.035874
    Unten links KachelX 101393 KachelY + 1 97873 1.71887341 -1.15256289 98.484192 -66.036989
    Unten rechts KachelX + 1 101394 KachelY + 1 97873 1.71892135 -1.15256289 98.486939 -66.036989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15254342--1.15256289) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dl = 124.043370000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15254342--1.15256289) × R
    1.94700000000214e-05 × 6371000     		dr = 124.043370000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71887341-1.71892135) × cos(-1.15254342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40616458007731 × 6371000     		do = 124.05311743182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71887341-1.71892135) × cos(-1.15256289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.406146788315457 × 6371000     		du = 124.047683369791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15254342)-sin(-1.15256289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40616458007731-0.406146788315457)×R²
    abs(1.71892135-1.71887341)×1.77917618530699e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77917618530699e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77917618530699e-05×40589641000000     		ar = 15387.6297160474m²