Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10139 / 14365
↖ ↑ ↗
← S 79.290397°
E 42.780762°		 ← 454.03 m → S 79.290397°
E 42.802734°		 →
↑
453.93 m
↓
↑
453.93 m
↓
S 79.294479°
E 42.780762°		 ← 453.85 m →
206 059 m²		 S 79.294479°
E 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.618865966796875 y=0.876800537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.618865966796875 × 214)
    floor (0.618865966796875 × 16384)
    floor (10139.5)     		tx = 10139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876800537109375 × 214)
    floor (0.876800537109375 × 16384)
    floor (14365.5)     		ty = 14365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10139 / 14365 ti = "14/10139/14365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10139/14365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10139 ÷ 214
    10139 ÷ 16384     		x = 0.61883544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14365 ÷ 214
    14365 ÷ 16384     		y = 0.87677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61883544921875 × 2 - 1) × π
    0.2376708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.74666515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.7535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36731585083685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74666515} λ = 0.74666515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36731585083685))-π/2
    2×atan(0.0937319795410364)-π/2
    2×0.0934589176727425-π/2
    0.186917835345485-1.57079632675     		φ = -1.38387849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74666515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.780762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38387849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.290397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10139 KachelY 14365 0.74666515 -1.38387849 42.780762 -79.290397
    Oben rechts KachelX + 1 10140 KachelY 14365 0.74704864 -1.38387849 42.802734 -79.290397
    Unten links KachelX 10139 KachelY + 1 14366 0.74666515 -1.38394974 42.780762 -79.294479
    Unten rechts KachelX + 1 10140 KachelY + 1 14366 0.74704864 -1.38394974 42.802734 -79.294479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38387849--1.38394974) × R
    7.12499999999672e-05 × 6371000     		dl = 453.933749999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38387849--1.38394974) × R
    7.12499999999672e-05 × 6371000     		dr = 453.933749999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74666515-0.74704864) × cos(-1.38387849) × R
    0.000383490000000042 × 0.185831305394351 × 6371000     		do = 454.025793784536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74666515-0.74704864) × cos(-1.38394974) × R
    0.000383490000000042 × 0.185761295979177 × 6371000     		du = 453.854745745941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38387849)-sin(-1.38394974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185831305394351-0.185761295979177)×R²
    abs(0.74704864-0.74666515)×7.00094151749597e-05×R²
    0.000383490000000042×7.00094151749597e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.00094151749597e-05×40589641000000     		ar = 206058.809017107m²