Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101386 / 98222
↖ ↑ ↗
← S 66.423340°
E 98.464966°		 ← 122.16 m → S 66.423340°
E 98.467713°		 →
↑
122.13 m
↓
↑
122.13 m
↓
S 66.424439°
E 98.464966°		 ← 122.16 m →
14 920 m²		 S 66.424439°
E 98.467713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773517608642578 y=0.749378204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773517608642578 × 217)
    floor (0.773517608642578 × 131072)
    floor (101386.5)     		tx = 101386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749378204345703 × 217)
    floor (0.749378204345703 × 131072)
    floor (98222.5)     		ty = 98222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101386 / 98222 ti = "17/101386/98222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101386/98222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101386 ÷ 217
    101386 ÷ 131072     		x = 0.773513793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98222 ÷ 217
    98222 ÷ 131072     		y = 0.749374389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773513793945312 × 2 - 1) × π
    0.547027587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71853785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749374389648438 × 2 - 1) × π
    -0.498748779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56686550098116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71853785} λ = 1.71853785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56686550098116))-π/2
    2×atan(0.208698322876389)-π/2
    2×0.205745170634423-π/2
    0.411490341268846-1.57079632675     		φ = -1.15930599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71853785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.464966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15930599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.423340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101386 KachelY 98222 1.71853785 -1.15930599 98.464966 -66.423340
    Oben rechts KachelX + 1 101387 KachelY 98222 1.71858579 -1.15930599 98.467713 -66.423340
    Unten links KachelX 101386 KachelY + 1 98223 1.71853785 -1.15932516 98.464966 -66.424439
    Unten rechts KachelX + 1 101387 KachelY + 1 98223 1.71858579 -1.15932516 98.467713 -66.424439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15930599--1.15932516) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dl = 122.132070000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15930599--1.15932516) × R
    1.91700000000683e-05 × 6371000     		dr = 122.132070000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71853785-1.71858579) × cos(-1.15930599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399975703709801 × 6371000     		do = 122.162875287507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71853785-1.71858579) × cos(-1.15932516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399958133837827 × 6371000     		du = 122.157508996357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15930599)-sin(-1.15932516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399975703709801-0.399958133837827)×R²
    abs(1.71858579-1.71853785)×1.7569871973655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7569871973655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7569871973655e-05×40589641000000     		ar = 14919.6771385682m²