Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101386 / 97902
↖ ↑ ↗
← S 66.069318°
E 98.464966°		 ← 123.89 m → S 66.069318°
E 98.467713°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
S 66.070432°
E 98.464966°		 ← 123.88 m →
15 344 m²		 S 66.070432°
E 98.467713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773517608642578 y=0.746936798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773517608642578 × 217)
    floor (0.773517608642578 × 131072)
    floor (101386.5)     		tx = 101386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746936798095703 × 217)
    floor (0.746936798095703 × 131072)
    floor (97902.5)     		ty = 97902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101386 / 97902 ti = "17/101386/97902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101386/97902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101386 ÷ 217
    101386 ÷ 131072     		x = 0.773513793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97902 ÷ 217
    97902 ÷ 131072     		y = 0.746932983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773513793945312 × 2 - 1) × π
    0.547027587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71853785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746932983398438 × 2 - 1) × π
    -0.493865966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55152569310274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71853785} λ = 1.71853785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55152569310274))-π/2
    2×atan(0.211924395460414)-π/2
    2×0.208834593153957-π/2
    0.417669186307914-1.57079632675     		φ = -1.15312714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71853785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.464966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15312714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.069318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101386 KachelY 97902 1.71853785 -1.15312714 98.464966 -66.069318
    Oben rechts KachelX + 1 101387 KachelY 97902 1.71858579 -1.15312714 98.467713 -66.069318
    Unten links KachelX 101386 KachelY + 1 97903 1.71853785 -1.15314658 98.464966 -66.070432
    Unten rechts KachelX + 1 101387 KachelY + 1 97903 1.71858579 -1.15314658 98.467713 -66.070432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15312714--1.15314658) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15312714--1.15314658) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71853785-1.71858579) × cos(-1.15312714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40563110760946 × 6371000     		do = 123.890181208558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71853785-1.71858579) × cos(-1.15314658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405613338656011 × 6371000     		du = 123.884754112801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15312714)-sin(-1.15314658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40563110760946-0.405613338656011)×R²
    abs(1.71858579-1.71853785)×1.77689534496817e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77689534496817e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77689534496817e-05×40589641000000     		ar = 15343.7403781255m²