Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101365 / 98252
↖ ↑ ↗
← S 66.456275°
E 98.407288°		 ← 121.98 m → S 66.456275°
E 98.410034°		 →
↑
122 m
↓
↑
122 m
↓
S 66.457372°
E 98.407288°		 ← 121.97 m →
14 881 m²		 S 66.457372°
E 98.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.773357391357422 y=0.749607086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.773357391357422 × 217)
    floor (0.773357391357422 × 131072)
    floor (101365.5)     		tx = 101365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749607086181641 × 217)
    floor (0.749607086181641 × 131072)
    floor (98252.5)     		ty = 98252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101365 / 98252 ti = "17/101365/98252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101365/98252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101365 ÷ 217
    101365 ÷ 131072     		x = 0.773353576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98252 ÷ 217
    98252 ÷ 131072     		y = 0.749603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.773353576660156 × 2 - 1) × π
    0.546707153320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71753118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.49920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56830360796976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71753118} λ = 1.71753118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56830360796976))-π/2
    2×atan(0.208398408066232)-π/2
    2×0.205457756176589-π/2
    0.410915512353177-1.57079632675     		φ = -1.15988081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71753118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.407288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15988081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.456275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101365 KachelY 98252 1.71753118 -1.15988081 98.407288 -66.456275
    Oben rechts KachelX + 1 101366 KachelY 98252 1.71757911 -1.15988081 98.410034 -66.456275
    Unten links KachelX 101365 KachelY + 1 98253 1.71753118 -1.15989996 98.407288 -66.457372
    Unten rechts KachelX + 1 101366 KachelY + 1 98253 1.71757911 -1.15989996 98.410034 -66.457372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15988081--1.15989996) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dl = 122.004649999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15988081--1.15989996) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dr = 122.004649999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71753118-1.71757911) × cos(-1.15988081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399448800331989 × 6371000     		do = 121.976496550516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71753118-1.71757911) × cos(-1.15989996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399431244390826 × 6371000     		du = 121.971135632684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15988081)-sin(-1.15989996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399448800331989-0.399431244390826)×R²
    abs(1.71757911-1.71753118)×1.75559411627058e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75559411627058e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75559411627058e-05×40589641000000     		ar = 14881.3727417267m²